Inhalt

- Grundlagen der Mathematik

- Diskrete Mathematik

- Algebra

- Lineare Algebra

- Geometrie

- Analysis

- Differentialgleichungen

- Funktionalanalysis

- Differentialgeometrie

- Topologie

- Numerik

   - Numerische Verfahren

       Kondition

       Stabilität

       Konsistenz

      - Lineare Gleichungssysteme

      - Nichtlineare

       Gleichungssysteme

          Sekantenverfahren

          Regula Falsi

          Fixpunktiteration

         - Newton-Verfahren

          Halley-Verfahren

          Euler-Tschebyschow-

          Verfahren

          Bairstow-Verfahren

          Weierstraß-Iteration

          Trennkreisverfahren

      - Interpolation

      - Approximation

      - Numerische Integration

   - Optimierung

- Stochastik

- Unsortiertes

- Anbieterkennzeichnung

Euler-Tschebyschow-Verfahren

Das Euler-Tschebyschow-Verfahren (nach Leonhard Euler und Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow; auch Verfahren der berührenden Parabeln) bezeichnet in der numerischen Mathematik ein iteratives Verfahren zum Lösen nichtlinearer Gleichungen. Es ist vergleichbar mit dem Newton-Verfahren, hat jedoch die Konvergenzordnung 3.

Beschreibung

Hat man eine nichtlineare Gleichung in Nullstellenform

F(x) = 0 einer Funktion

und einen hinreichend guten Startwert x₀ , so erhält man über eine näherungsweise Berechnung der Nullstelle der abgebrochenen Taylorentwicklung

in jedem Schritt das folgende Verfahren. Die genaue Herleitung des Verfahrens ist in Halley-Verfahren im Abschnitt zum mehrdimensionalen Fall beschrieben.

Algorithmus

1. Wähle einen Startwert , ein , setze k = 0
   1. Falls oder k > N Stopp
   2. Löse :F'(x_k )s_k = - F(x_k ), (Newton-Schritt)
   3. Löse :, (quadratische Korrektur)
   4. Setze x_{k + 1} = x_k + s_k + t_k , k = k + 1

Eigenschaften

Offenbar benötigt man im Gegensatz zum Newton-Verfahren die 2. Ableitung der Funktion. Die Erhöhung der Konvergenzordnung lohnt sich also nur, wenn die Berechnung der 2.Ableitung im Vergleich mit der Berechnung von Funktionswert und erster Ableitung leicht ist. Über andere Näherungen der Nullstelle der Taylorentwicklung erhält man andere Verfahren. Ein Beispiel dafür wäre das Halley-Verfahren.

Beispiel

Als einfaches eindimensionales Beispiel soll die Berechnung der Nullstelle von f(x) = x + e^x mit dem Startwert 0 genommen werden. Die erste Ableitung ist f ´(x) = 1 + e^x die zweite Ableitung f ''(x) = e^x

• Schritt 1
  • f(0) = 1, f '(0) = 2, f ''(0) = 1
  • 
  • 
  • x₁ = x₀ + s₀ + t₀ = - 0 5625
• Schritt 2
  • f( - 0.5625) = 0.0073, f '(-0.5625) = 1.5698, f ''(-0.5625) = 0.5698
  • 
  • 
  • x₂ = x₁ + s₁ + t₁ = -0.5671

Nach dem 2. Schritt erhält man als Funktionswert und kann abbrechen.

Literatur

• Hubert Schwetlick, Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungen, Deutscher Verlag der Wissenschaften

Es ist unmöglich, die Schönheiten der Naturgesetze angemessen zu vermitteln, wenn jemand die Mathematik nicht versteht. Ich bedaure das, aber es ist wohl so.

Richard Feynman

Druckansicht     

Amazon.de empfiehlt:

Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler

Wolfgang Dahmen

Numerik-Algorithmen: Verfahren, Beispiele, Anwendungen, 2CD-...

Gisela Engeln-Müllges

Numerik für Ingenieure, Physiker und Informatiker: für Bache...

Günter Bärwolff

Numerische Mathematik

Hans Rudolf Schwarz

Numerische Mathematik: Eine beispielorientierte Einführung

Michael Knorrenschild

Numerische Mathematik: Eine beispielorientierte Einführung (...

Michael Knorrenschild

Bücher zum Thema Numerik auf
• bol.de
• buch.de
• buecher.de
• libri.de