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Grundlagen der Mathematik

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Endlichkeit

Eine Menge M heißt endlich, wenn es eine natürliche Zahl n gibt, so dass M gleichmächtig zur Menge A_n = {0, 1, ..., n-1} ist. Alle anderen Mengen heißen unendlich.

Anschaulich bedeutet Endlichkeit nichts anderes, als dass die Menge mit den Zahlen 0, ..., n-1 durchnumeriert werden kann (was gleichbedeutend ist, dass sie mit den Zahlen 1, ..., n durchnummeriert werden kann).

Die Zahl n mit der gilt wird auch Kardinalzahl genannt und es wird card M = n für geschrieben.

Die leere Menge ist damit eine endliche Menge, für sie gilt nämlich: und damit .

Satz 5305B (Eigenschaften endlicher Mengen)

Seien A und B zwei endliche Mengen und C eine beliebige Menge, dann gilt:

Jede Teilmenge von A ist endlich
ist endlich
ist endlich
ist endlich

Man könnte nun annehmen, dass es nur eine Art der Unendlichkeit gibt. Leider ist dem nicht so. Denn es gilt der:

Satz 5305A (Ungleichmächtigkeit der Potenzmenge)

Keine Menge ist mit ihrer Potenzmenge gleichmächtig. Für keine Menge A gilt also .

Insbesondere muss die Unendlichkeit der Potenzmenge einer unendlichen Menge eine andere Art von Unendlichkeit sein.

Beweis

Sei eine beliebige injektive Abbildung. Wir zeigen, dass f nicht surjektiv ist. Wir betrachten die folgende Menge . Jetzt zeigen wir, dass X kein Urbild besitzen kann. Nehmen wir an es gibt ein mit f(x) = X. Dann gilt , was ein Widerspruch ist.

Seit der Zeit der Griechen bedeutet "Mathematik" zu sagen, "Beweis" zu sagen.

N. Bourbaki

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