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Ellipsoid

Ellipsoid mit (a, b, c) = (4, 2, 1)

Ein Ellipsoid ist ein höherdimensionales Analogon einer Ellipse.

Definition

Die Gleichung eines Ellipsoids im dreidimensionalen Raum lautet bei Verwendung kartesischer Koordinaten

mit positiven reellen Zahlen a, b und c, den Längen der Halbachsen. Allgemein ist ein Ellipsoid die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung (quadratischen Form) mit positiv definiter symmetrischer reeller Matrix Q = (q_ij ):

Durch Hauptachsentransformation kann man Q auf eine Diagonalmatrix mit positiven Eigenwerten transformieren.

Für das Volumen V gilt: wobei wie oben a, b, c die Radien in der Breite, Höhe und Tiefe bezeichnen.

Dreidimensionale Ellipsoide erhält man zum Beispiel durch Rotation einer Ellipse um eine ihrer Achsen, wobei man von Rotationsellipsoiden spricht. Dabei sind zwei der Achsen gleich lang. Sind alle drei Achsen verschieden, spricht man von triaxialen Ellipsoiden. Angenäherte Beispiele für Rotationsellipsoide sind rotierende Himmelskörper, etwa die Erde (vergl. Erdellipsoid) bzw. Planeten, Sonnen oder Galaxien. Elliptische Galaxien können auch triaxial sein.

Zur Berechnung der Oberfläche S eines Rotationsellipsoids nehmen wir an, dass ist. Weiters seien das Verhältnis der Halbachsen c und a und die numerische Exzentrizität der Ellipse, die sich als Schnitt mit der xz-Ebene y = 0 ergibt.

Dann ist für

a = b (Rotationsachse = z-Achse):
b = c (Rotationsachse = x-Achse):

siehe auch: Rotationsellipsoid, Paraboloid, Homöoid, Fokaloid

Eine mathematische Wahrheit ist an sich weder einfach noch kompliziert, sie ist.

Émile Lemoine

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