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Die Ellipse

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Die Ellipse ist die Menge aller Punkte der Ebene, die zu zwei vorgegebenen Punkten (den Brennpunkten) F₁ und F₂ einen festen Abstand 2a haben.

Für einen beliebigen Punkt P der Ellipse gilt: 2a = r₁ + r₂ .

Die Stecke AB = 2a heißt große Achse der Ellipse, bei a = AO = OB spricht man von der großen Halbachse. Analog heißt CD = 2b die kleine Achse und b = CO = OD sind demnach die kleinen Halbachsen.

Die Ellipsengleichung muss auch im Punkt C erfüllt sein muss. Dann gilt aber a = r₁ = r₂ und mit c = OF₁ = F₂ O sowie unter Benutzung des Satzes des Pythagoras erhält man die Formel:

(1)	c² + b² = a² .

Die Länge c kann man also aus

bestimmen.

Für die Gleichungen der Ellipse spricht man von der Normalform, wenn der Mittelpunkt der Ellipse mit dem Koordinatenursprung und die Halbachsen mit den Koordinatenachsen zusammenfallen.

Formel 15VN (Gleichung der Ellipse in Normalform)

mit den Halbachsen a und b.

Für einen Kreis (r = a = b) geht die Formel in Formel 15VR über.

Herleitung

Für einen Punkt P(x | y) auf der Ellipse gilt:

(2)	r²₁ = (x - c)² + y² = x² + c² - 2cx + y² ,

(3)	r²₂ = (x + c)² + y² = x² + c² + 2cx + y² .

Nach der Subtraktion der Gleichungen (2) von Gleichung (3):

r²₂ - r²₁ = 4cx.

Dann gilt auch:

4cx = r²₂ - r²₁ = (r₂ + r₁ )(r₂ - r₁ ) = 2a(r₂ - r₁ ),

also . Zusammen mit r₂ + r₁ = 2a ergibt sich:

(4)

und

Letzteres brauchen wir für die Herleitung von Formel 15VO.

Setzen wir nun (4) in (3) ein, erhalten wir:

Benutzen wir nun (1):

woraus folgt:

und nach der Division durch b² ergibt sich die Behauptung.

So kann also die Mathematik definiert werden als diejenige Wissenschaft, in der wir niemals das kennen, worüber wir sprechen, und niemals wissen, ob das, was wir sagen, wahr ist.

Bertrand Russell

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