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Dualsystem

Das Dualsystem (lat. dualis = zwei enthaltend), auch Binärsystem oder Zweiersystem genannt, ist ein Zahlensystem, welches nur zwei Ziffern zur Darstellung von Zahlen benutzt. Es wurde von Gottfried Wilhelm Leibniz erfunden und erlebte mit der Entwicklung der Digitaltechnik eine starke Verbreitung. Auf Grund dessen ist es das bekannteste und wichtigste Zahlensystem neben dem gewöhnlich benutzten Dezimalsystem

Das Dualsystem ist ein Stellenwertsystem mit der Basis 2, also die dyadische (2-adische) Darstellung von Zahlen (Dyadik). Die zwei Ziffern mit den Werten Null und Eins werden oft mit den Symbolen 0 und 1 dargestellt. Alle Zahlen werden als Folge von 0 und 1 dargestellt. Die 8 (acht) im Zehnersystem entspricht beispielsweise der 1000 im Dualsystem.

In älterer Literatur mit Bezug zur elektronische Datenverarbeitung werden manchmal die Symbole Low (L) und High (H) anstelle von 0 und 1 verwendet. Low steht dann meist für den Wert Null und High für den Wert Eins. Diese Zuordnung nennt sich positive Logik, bei negativer Logik werden die Werte andersherum zugeordnet.

Das Dualsystem ist ein vollständiges Zahlensystem mit der geringstmöglichen Anzahl an verschiedenen Ziffern. Ein Zahlensystem mit nur einer Ziffer bleibt unvollständig. Der Nachteil des Zweiersystems sind die langen Zahlen.

Die Zahlen, die durch das Dualsystem dargestellt werden, heißen Dualzahlen oder Binärzahlen, wobei letzteres auch einfach für binärcodierte Zahlen stehen kann. Die Darstellungsweise einer Zahl ist durch den Begriff Binärzahl, bis auf die Anzahl der verwendeten Ziffernsymbole (zwei), also nicht näher spezifiziert.

Definition und Darstellung

Eine Dualzahl wird durch die Ziffern z_i dargestellt. Die Ziffern werden wie im gewöhnlich verwendeten Dezimalsystem ohne Trennzeichen hintereinander geschrieben, ihr Stellenwert entspricht allerdings der zur Stelle passenden Zweierpotenz und nicht der Zehnerpotenz.

Es wird also die höchstwertige Stelle mit dem Wert z_m ganz links und die niederwertigeren Stellen mit den Werten z_m-1 bis z₀ in absteigender Reihenfolge rechts davon aufgeschrieben. Zur Darstellung von rationalen oder reellen Zahlen folgen dann nach einem trennenden Komma die Stellen z_-1 bis z _{- n} , die den gebrochenen Anteil der Zahl darstellen:

Der Wert Z der Dualzahl ergibt sich durch Addition dieser Ziffern, welche vorher jeweils mit ihrem Stellenwert 2ⁱ multipliziert werden:

.

Beispiel

Die Ziffernfolge 1101 stellt nicht (wie im Dezimalsystem) die Tausendeinhundertundeins dar, sondern die Dreizehn, denn im Dualsystem berechnet sich der Wert durch

und nicht wie im Dezimalsystem durch

.

Die Klammerung der Resultate mit der tiefgestellten 2 beziehungsweise der 10 gibt die Basis des verwendeten Stellenwertsystems an. So kann leicht erkannt werden, ob die Zahl im Dual- oder im Dezimalsystem dargestellt ist. In der Literatur werden die eckigen Klammern oft weggelassen und die tiefergestellte Zahl wird dann manchmal in runde Klammern gesetzt. Ebenfalls möglich ist die Kennzeichnung durch den nachgestellten Großbuchstaben B (für binär).

Die Logik ist die Hygiene, deren sich der Mathematiker bedient, um seine Gedanken gesund und kräftig zu erhalten.

Hermann Weyl

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