Dreiecksungleichung

In jedem Dreieck ist die Summe zweier Seitenlängen größer als die Dritte.

Sind die Seiten \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) und \(\displaystyle c\) so gilt also:

\(\displaystyle a+b>c\);     \(\displaystyle a+c>b\);     \(\displaystyle b+c>a\)

Anschaulich ergibt sich die Gültigkeit der Gleichung aus der Eigenschaft einer Strecke, die kürzeste Verbindung zweier Punkte zu sein.

Anwendung

Die Dreiecksungleichung hilft schnell zu entscheiden, ob bei gegebenen Seitenlängen ein Dreieck konstruierbar ist.

Man kann z.B. kein Dreieck mit den Seitenlängen 2cm, 3cm und 6cm konstruieren, da die Dreiecksungleichung verletzt wäre.

 
 

Herleitung aus dem Cosinussatz

Die Stücke des Dreiecks seien wie üblich bezeichnet.

Es gilt nach Definition des Kosinus für beliebiges \(\displaystyle \gamma\):

\(\displaystyle -1\leq\cos\gamma\leq1\),

also

\(\displaystyle 0\leq 1+\cos\gamma\).

Nach Multiplikation mit \(\displaystyle 2ab\):

(1)
\(\displaystyle 0\leq 2ab(1+\cos\gamma)=2ab+2ab\cos\gamma\).

Der Kosinussatz ergibt sich mit

\(\displaystyle c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\)

Addieren wir zur Ungleichung (1) diese Gleichung, erhalten wir

\(\displaystyle c^2\leq a^2+b^2-2ab\cos\gamma+2ab+2ab\cos\gamma=a^2+b^2+2ab\).

Nach Anwendung der entsprechenden binomischen Formel:

(2)
\(\displaystyle c^2\leq (a+b)^2\),

und nach dem Wurzelziehen ergibt sich die Behauptung. Für die anderen Seiten kann man analog rechnen. Die Gleichheit kann in (2) nur dann auftreten, wenn \(\displaystyle \gamma=180°\) gilt, ein Fall, der in einem Dreieck aber nicht vorkommen kann. \(\displaystyle \qed\)

Nicht etwa, daß bei größerer Verbreitung des Einblickes in die Methode der Mathematik notwendigerweise viel mehr Kluges gesagt würde als heute, aber es würde sicher viel weniger Unkluges gesagt.

Karl Menger

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