Division

Die Division ist eine der vier Grundrechenarten der Arithmetik. Sie ist die Umkehrung der Multiplikation. Die Division wird umgangssprachlich auch als Teilen bezeichnet.

Division in der Arithmetik

Im Bereich der rationalen, reellen und komplexen Zahlen gilt:

Für jede Zahl \(\displaystyle a\) und von Null verschiedene Zahl \(\displaystyle b\) gibt es genau eine Zahl \(\displaystyle x\), die die Gleichung

\(\displaystyle b\) · \(\displaystyle x\) = \(\displaystyle a\) (lies: \(\displaystyle b\) mal \(\displaystyle x\) gleich \(\displaystyle a\))

erfüllt.

Die Bestimmung von \(\displaystyle x\) heißt Division. \(\displaystyle x\) lässt sich bestimmen, indem man \(\displaystyle a\) durch \(\displaystyle b\) dividiert ("teilt"):

\(\displaystyle x\) = \(\displaystyle a\) : \(\displaystyle b\)

Die auftretenden Terme heißen wie folgt:

  • Die Zahl, die geteilt wird (\(\displaystyle a\)), heißt Dividend.
  • Die Zahl, durch die geteilt wird (\(\displaystyle b\)),heißt Divisor.
  • Das Ergebnis der Division heißt Quotient.

Der Divisor muss unbedingt ungleich 0 sein, da der Quotient \(\displaystyle a\) / \(\displaystyle b\) als Lösung der Gleichung \(\displaystyle b · x = a\) definiert ist, und diese Gleichung für \(\displaystyle b\) = 0 entweder gar keine (für \(\displaystyle a\) ungleich 0) oder mehr als eine Lösung hat (für \(\displaystyle a\) gleich 0).

Für die Division gilt nicht das Assoziativgesetz.

Siehe auch: Kehrwert

 
 

Schreibweisen

Es gibt mehrere Schreibweisen für die Division: \(\displaystyle a : b\), \(\displaystyle a ÷ b\), \(\displaystyle a / b\) und \(\displaystyle \dfrac{a}{b}\).

Der Doppelpunkt als Zeichen für die Division ist erst seit Leibniz (1646 - 1716) allgemein üblich, wenngleich er auch in älteren Schriften bekannt ist. Die letzte erwähnte Schreibweise heißt auch Bruchdarstellung oder kurz (echter) Bruch.

Division durch Null

Die Division durch Null ist nicht definiert. Ließe man nämlich die Division durch Null zu, so hätte dies ein interessantes mathematisches Paradox zur Folge:

Gäbe es zu einer gegebenen Zahl \(\displaystyle a \ne 0\) eine Zahl \(\displaystyle x = \dfrac{a}{0}\),

so würde man durch beidseitige Multiplikation mit 0 die Aussage \(\displaystyle 0 = a\) und somit einen Widerspruch zur Voraussetzung \(\displaystyle a \ne 0\) erhalten.

Wäre die Division von Null durch Null definiert, gäbe es also eine Zahl

\(\displaystyle x = \dfrac{0}{0}\), so würde die Multiplikation mit 0 zur Gleichung \(\displaystyle x \cdot 0 = 0\) führen, also zu einer Gleichung, die für jedes \(\displaystyle x\) richtig ist. Es gibt daher keine sinnvolle eindeutige Definition für \(\displaystyle \dfrac{0}{0}\).

Wenn man von diesem Paradoxon absieht, gibt es für Division durch Null eine "Lösung":

\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{a}{x}=\pm\infty\). Bei Annäherung aus dem positiven Zahlenbereich ist es \(\displaystyle \infty\), bzw. \(\displaystyle -\infty\) bei Annäherung aus dem negativen Bereich.

Es ist unglaublich, wie unwissend die studirende Jugend auf Universitäten kommt, wenn ich nur 10 Minuten rechne oder geometrisire, so schläft 1/4 derselben sanft ein.

Georg Christoph Lichtenberg

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