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Divergenz

Unter der Divergenz versteht man in der Mathematik ein bestimmtes Funktional eines Vektorfeldes. Interpretiert man dieses Feld als Strömungsfeld, so gibt die Divergenz für jede Stelle die Tendenz an, ob ein Teilchen in der Nähe zu diesem Punkt hin- bzw. von diesem Punkt wegfließt. Es sagt damit aus, ob und wo das Vektorfeld Quellen (Divergenz größer Null) oder Senken (Divergenz kleiner Null) hat. Ist die Divergenz gleich Null, so bezeichnet man das Feld als quellenfrei.

Die Divergenz lässt sich formal als Ableitungsoperator interpretieren und gehört zusammen mit den anderen Ableitungsoperatoren Gradient und Rotation der Vektoranalysis an, einem Untergebiet der mehrdimensionalen Analysis.

Formale Definition

Die Divergenz eines Vektorfeldes ist ein skalares Feld. Es wird als oder als divF geschrieben. Dabei bezeichnet den formalen Nabla-Operator und div das Operatorsymbol der Divergenz. Für den Fall eines dreidimensionalen Vektorfeldes F(x₁ , x₂ , x₃ ) ist die Divergenz in kartesischen Koordinaten definiert als

Allgemein gilt für ein n-dimensionales Vektorfeld F = (F¹ , ..., Fⁿ ), das jedem Punkt eines n-dimensionalen Raumes einen n-Vektor zuordnet:

Die Divergenz lässt sich formal als Skalarprodukt zwischen und F = (F¹ , ..., Fⁿ ) interpretieren, d.h. als die Summe der komponentenweisen Produkte.

Interpretation der Divergenz

Interpretiert man ein Vektorfeld als Strömungsfeld, so beschreibt dessen totales Differenzial ein Beschleunigungsfeld. Ist in einem Punkt die Beschleunigungsmatrix DV(x₀ ) diagonalisierbar, so beschreibt jeder Eigenwert die Beschleunigung in Richtung des zugehörigen Eigenvektors u_i (x₀ ). Jeder positive Eigenwert beschreibt also die Intensität einer gerichteten Quelle und jeder negativer Eigenwert die gerichtete Intensität einer Senke. Addiert man diese Eigenwerte, so erhält man die resultierende Intensität einer Quelle bzw. Senke. Da die Summe der Eigenwerte gerade die Spur der Beschleunigungsmatrix DV(x₀ ) ist, wird die Quellenintensität durch

gemessen.

Rechenregeln

Sei c eine Konstante, u ein skalares Feld und F, G jeweils ein Vektorfeld. Dann gelten folgende Regeln:

Linearität

• 
• div (F + G) = div F + div G

Produktregeln

Die Produktregeln ergeben sich aus den Produktregeln von Differentialformen.

Dabei sind bei der ersten Regel u eine 0-Form und F eine 2-Form, wobei bei der zweiten Regel F und G 1-Formen sind.

Integralsatz

Eine wichtige Rolle spielt die Divergenz beim Gaußschen Integralsatz. Er besagt, dass der Durchfluss durch eine geschlossene Oberfläche gleich dem Integral über die Divergenz des Vektorfeldes im Inneren dieses Volumens ist und erlaubt damit die Umwandlung eines Volumenintegrals in ein Oberflächenintegral:

wobei n der Normalenvektor der Oberfläche ist. Anschaulich beschreibt er damit für den Fall einer Strömung den Zusammenhang zwischen dem Durchfluss durch diese Fläche und den Strömungquellen und Senken innerhalb des zugehörigen Volumens.

Zylinder- und Kugelkoordinaten

In Zylinderkoordinaten gilt für die Divergenz eines Vektorfeldes F:

In Kugelkoordinaten gilt für die Divergenz eines Vektorfeldes F:

Es ist unmöglich, die Schönheiten der Naturgesetze angemessen zu vermitteln, wenn jemand die Mathematik nicht versteht. Ich bedaure das, aber es ist wohl so.

Richard Feynman

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