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Zahlentheorie


Diophantische Gleichung

Eine diophantische Gleichung (benannt nach dem griechischen Mathematiker Diophantos/Diophant von Alexandria, um 250) ist eine Gleichung der Form

\(\displaystyle f(x_{1}, x_{2}, x_{3},\ldots , x_{n}) = 0\)
mit ganzzahligen Koeffizienten, bei der man sich nur für ganzzahlige Lösungen interessiert. Diese Einschränkung der Lösungsmenge ergibt einen Sinn, wenn Teilbarkeitsfragen beantwortet werden sollen, wenn es sich um Probleme der Kongruenzarithmetik handelt oder wenn Probleme in der Praxis nur ganzzahlige Lösungen sinnvoll sind, z.B. Stückzahlverteilung bei der Herstellung von mehreren Produkten.

 
 

Beispiele

  • \(\displaystyle X^{2} - Y = 0\) besitzt als Lösung die Zahlenpaare (1,1), (2,4), (-2,4), (3,9), (-3,9), ... allgemein: \(\displaystyle (\pm n,n^{2})\).
  • \(\displaystyle X^{4} + Y^{2} + Z^{20} = -7\) besitzt keine Lösung, da die linke Seite der Gleichung immer positiv oder Null ist.
  • \(\displaystyle 3X = 4\) besitzt keine Lösung, da bei diophantischen Gleichungen nur ganzzahlige Lösungen gesucht sind.

Lineare Diophantische Gleichung

Diophantische Gleichungen, in denen keine Potenzen auftauchen nennt man linear. Für sie gibt es Algorithmen die immer (nach endlich vielen Schritten) alle Lösungen finden.

Siehe: Lineare Diophantische Gleichung

Berühmte Diophantische Gleichungen

Pythagoreische Tripel

Die Lösungen von \(\displaystyle X^{2} + Y^{2} = Z^{2}\) bilden die so genannten pythagoreischen Tripel.

Fermats letzter Satz

Wenn man obige Gleichung zu \(\displaystyle X^{n} + Y^{n} = Z^{n}\) (\(\displaystyle n\in\N\)) erweitert, erhält man eine diophantische Gleichung von der Fermat vor 400 Jahren behauptet hat, dass sie für \(\displaystyle n>2\) keine Lösung besitzt (außer den trivialen Lösungen, bei denen wenigstens eine der Zahlen null ist), was erst 1995 von Andrew Wiles bewiesen wurde.

Hilberts Zehntes Problem

Im Jahr 1900 stellte David Hilbert das Problem der Lösbarkeit einer Diophantischen Gleichung als zehntes Problem seiner berühmten Liste von 23 mathematischen Problemen vor. 1970 bewies Juri Wladimirowitsch Matijassewitsch, dass die Lösbarkeit einer Diophantischen Gleichung unentscheidbar ist.

Nicht etwa, daß bei größerer Verbreitung des Einblickes in die Methode der Mathematik notwendigerweise viel mehr Kluges gesagt würde als heute, aber es würde sicher viel weniger Unkluges gesagt.

Karl Menger

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