Inhalt

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Dimension eines Vektorraums

Nach dem Basissatz sind alle Basen von Vektorräumen gleichmächtig. Daher ist die folgende Definition gerechtfertigt. Unter der Dimension eines Vektorraums V (Abkürzung dim V) verstehen bei endlich erzeugten Vektorräumen, die Anzahl der Elemente einer Basis (0 im Falle des Nullvektorraums). Bei nicht endlich erzeugten Vektorräumen setzen wir .

Ist die Dimension eines Vektorraums endlich nennen wir ihn endlich dimensional.

Beispiele

Für einen Körper K ist dim Kⁿ = n, da die n Einheitsvektoren eine Basis bilden. Analog gilt .

Sei als Vektorraum über aufgefasst. Dann bildet {1, i} eine Basis also gilt .

Fassen wir als Vektorraum über auf, so gilt . Wäre nämlich ein endlich dimensionaler Vektorraum über , dann könnte er wegen der Abzählbarkeit von (Satz 15XC) nur abzählbar viele Elemente haben, im Widerspruch zur Überabzählbarkeit der reellen Zahlen (Satz 15XD).

Durch den folgenden Dimensionssatz ist die Dimension der Summe von Teilräumen mit der Dimension der Teilräume verknüpft.

Satz 15XE (Dimensionssatz)

Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum über den Körper K und U, W seien Teilräume von V. Dann gilt:

Beweis

Sei {b₁ , ..., b_k } eine Basis von . Diese lässt sich nach dem Basisergänzungssatz mit Elementen aus U zu {b₁ , ..., b_k , u₁ , ..., u_m }, einer Basis von U ergänzen und ebenso mit Elementen aus W zu {b₁ , ..., b_k , w₁ , ..., w_n }, einer Basis von W. Wir zeigen nun, dass B := {b₁ , ..., b_k , u₁ , ..., u_m , w₁ , ..., w_n } eine Basis von U + W ist. B ist offensichtlich ein Erzeugendensystem für U + W, wir müssen damit lediglich zeigen, dass B linear unabhängig ist. Sei nun

(1)

(2)

Auf Grund dieser Darstellung gilt einerseits und andererseits , also . Dann lässt sich aber v auch mit Elementen der Basis von linear kombinieren. Es gilt und mit (2):

Nun ist {b₁ , ..., b_k , u₁ , ..., u_m } eine Basis von U und nach Satz 15X4 ist die Basisdarstellung eindeutig. Es gilt damit für i = 1...m. Setzen wir dies nun in (1) ein, ergibt sich:

Es sind die {b₁ , ..., b_k , w₁ , ..., w_n } eine Basis von W, damit gilt nun für i = 1...k und für j = 1...n.

Dann lässt sich aber auch die Linearkombination (1) nur trivial erfüllen und B bildet eine Basis für U + W. Es ist also:

dim(U + W) = k + m + n = (k + n) + (m + n) - n .

Ein Mathematiker, der nicht irgendwie ein Dichter ist, wird nie ein vollkommener Mathematiker sein.

Karl Weierstraß

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