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Formelsammlung Mathe |
Inhalt
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Grundlagen der Mathematik
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Bezeichnungen- Elementarmathematik- Logik- Aussagenlogik- Aussagen, Formeln und 
Tautologien- Die Theorie L
Einfache Folgerungen Korrektheit- Das Deduktionstheorem- Vollständigkeit von L- Prädikatenlogik Formale Theorien- Modelltheorie Ableitung Gödelscher Unvollständigkeitssatz- Mengenlehre- Zahlenbereiche- Diskrete Mathematik- Algebra- Lineare Algebra- Geometrie- Analysis- Differentialgleichungen- Funktionalanalysis- Differentialgeometrie- Topologie- Numerik- Stochastik- Unsortiertes- AnbieterkennzeichnungDie Theorie L
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Wir wollen nun die Aussagenlogik als Theorie formulieren. Die Formeln der Theorie sind alle aussagenlogischen Formeln. Die Theoreme sollen genau die aussagenlogischen Tautologien sein. Nun könnten wir uns die Arbeit leicht machen und eine Theorie formulieren, in der die Axiome genau die Tautologien sind und keine Ableitungsregeln existieren. Offensichtlich sind dann die Theoreme genau die Tautologien, da in den Beweisen keine Ableitungsschritte gemacht werden müssen und in ihnen deshalb nur Axiome - also Tautologien - vorkommen. In dieser Theorie ist es aber nicht einfach, einen Beweis zu verifizieren - also von einer Folge von Formeln festzustellen, ob sie tatsächlich ein Beweis ist. Das liegt daran, dass es nicht einfach ist, von einer Formel festzustellen, ob sie ein Axiom ist - also eine Tautologie. Die Grundidee ist, dass das Verifizieren von Beweisen einfach sein muss. Es soll also einfach sein, von einer Formel festzustellen, ob sie ein Axiom ist, und es soll einfach festzustellen sein, ob eine Formel mittels einer Ableitungsregel aus anderen Formeln entsteht. Diese Einfachheit steckt zwar nicht in der Definition einer formalen Theorie (man kann sie dort aber auch konkret unterbringen), ist aber die Intention der Schöpfer des Begriffes.
Die Axiome sollen also möglichst einfache Formeln und im intuitiven Sinne grundlegende Wahrheiten der Theorie sein. Ebenso sollen die Ableitungsregeln möglichst einfach sein. Wenn man eine Theorie definiert hat, muss man anschließend nachweisen, dass die Theoreme genau die Formeln sind, die man als wahre Formeln betrachtet. Für die folgende Theorie für die Aussagenlogik werden wir im Anschluss zeigen, dass ihre Theoreme genau die Tautologien sind. Wir werden auch eine andere Theorie sehen, für die wir beweisen werden, dass die Theoreme genau die Kontradiktionen sind.
In der folgenden Theorie für die Aussagenlogik beschränken wir uns auf eine adäquate Menge von Verknüpfungszeichen, damit die Beschreibung der Theorie nicht zu kompliziert wird und wir wissen ja bereits, dass uns dadurch nichts an Ausdrucksstärke verloren geht.
Definition der Theorie für die Aussagenlogik
Die Theorie für die Aussagenlogik
i. allen aussagenlogischen Formeln mit den Verknüpfungszeichen 
ii. den Axiomen, die aus dem Axiomenschemata (A1), (A2) und (A3) durch Einsetzen von beliebigen aussagenlogischen Formeln für
- (A1)
- (A2)
- (A3)
iii. der Ableitungsregel modus ponens (MP)
Andere Schreibweise:
Nach Lemma 172X sind die Axiome (A1) bis (A3) Tautologien.
Die Ableitungsregel modus ponens (vollständig modus ponendo ponens) besagt: wenn
Manche Menschen haben einen Gesichtskreis vom Radius Null und nennen ihn ihren Standpunkt.
David Hilbert
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