Die Mollweideschen Formeln

In einem beliebigen Dreieck gelten die nach Carl Brandan Mollweide benannten Formeln:

Satz 168F (Formeln von Mollweide)

\(\displaystyle \dfrac{b+c}{a} = \dfrac{\cos \dfrac{\beta -\gamma }{2} } {\sin \dfrac{\alpha }{2}}\) \(\displaystyle \dfrac{c+a}{b} = \dfrac{\cos \dfrac{\gamma -\alpha }{2} } {\sin \dfrac{\beta }{2}}\) \(\displaystyle \dfrac{a+b}{c} = \dfrac{\cos \dfrac{\alpha -\beta }{2} } {\sin \dfrac{\gamma }{2}}\)
\(\displaystyle \dfrac{b-c}{a} = \dfrac{\sin \dfrac{\beta -\gamma }{2} } {\cos \dfrac{\alpha }{2}}\) \(\displaystyle \dfrac{c-a}{b} = \dfrac{\sin \dfrac{\gamma -\alpha }{2} } {\cos \dfrac{\beta }{2}}\) \(\displaystyle \dfrac{a-b}{c} = \dfrac{\sin \dfrac{\alpha -\beta }{2} } {\cos \dfrac{\gamma }{2}}\)
 
 

Beweis

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Zur Herleitung der Formeln benutzen wir den Sinussatz \(\displaystyle \dfrac a c =\dfrac {\sin\alpha}{\sin\gamma}\) und \(\displaystyle \dfrac b c =\dfrac {\sin\beta}{\sin\gamma}\).
\(\displaystyle \dfrac {a+b} c =\dfrac{\sin\alpha+\sin\beta}{\sin\gamma}\)
\(\displaystyle =\dfrac{\sin\alpha+\sin\beta}{2\sin\dfrac \gamma 2\cos\dfrac \gamma 2}\) (Satz 5220A)
\(\displaystyle =\dfrac{\sin\dfrac {\alpha+\beta} 2 \cos\dfrac {\alpha-\beta} 2}{\sin\dfrac \gamma 2\cos\dfrac \gamma 2}\) (Satz 5316D)
\(\displaystyle = \dfrac{\cos \dfrac{\alpha -\beta }{2} } {\sin \dfrac{\gamma }{2}}\) (wegen \(\displaystyle \cos \dfrac \gamma 2=\cos\braceNT{\dfrac \pi 2-\dfrac {\alpha+\beta} 2}=\sin\dfrac {\alpha+\beta} 2\) vgl. Satz 5220B)
Die anderen Formeln ergeben sich durch zyklisches Vertauschen der Seiten und Winkel und analoge Schlussweisen. \(\displaystyle \qed\)
Nach Division der entsprechenden Gleichungen und unter Benutzung von \(\displaystyle \cos \dfrac \gamma 2=\sin\dfrac {\alpha+\beta} 2\), erhält man die Folgerung:

Nepersche Gleichungen

\(\displaystyle \dfrac {a-b} {a+b}=\dfrac {\tan \dfrac {\alpha-\beta} 2} {\tan \dfrac {\alpha+\beta} 2}\) \(\displaystyle \dfrac {b-c} {b+c}=\dfrac {\tan \dfrac {\beta-\gamma} 2} {\tan \dfrac {\beta+\gamma} 2}\) \(\displaystyle \dfrac {c-a} {c+a}=\dfrac {\tan \dfrac {\gamma-\alpha} 2} {\tan \dfrac {\gamma+\alpha} 2}\)

Das ist ein Mittel, das Paradies nicht zu verfehlen: auf der einen Seite einen Mathematiker, auf der anderen einen Jesuiten; mit dieser Begleitung muß man seinen Weg machen, oder man macht ihn niemals.

Friedrich der Große

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