Die Mollweideschen Formeln

In einem beliebigen Dreieck gelten die nach Carl Brandan Mollweide benannten Formeln:

Satz 168F (Formeln von Mollweide)

\(\displaystyle \dfrac{b+c}{a} = \dfrac{\cos \dfrac{\beta -\gamma }{2} } {\sin \dfrac{\alpha }{2}}\) \(\displaystyle \dfrac{c+a}{b} = \dfrac{\cos \dfrac{\gamma -\alpha }{2} } {\sin \dfrac{\beta }{2}}\) \(\displaystyle \dfrac{a+b}{c} = \dfrac{\cos \dfrac{\alpha -\beta }{2} } {\sin \dfrac{\gamma }{2}}\)
\(\displaystyle \dfrac{b-c}{a} = \dfrac{\sin \dfrac{\beta -\gamma }{2} } {\cos \dfrac{\alpha }{2}}\) \(\displaystyle \dfrac{c-a}{b} = \dfrac{\sin \dfrac{\gamma -\alpha }{2} } {\cos \dfrac{\beta }{2}}\) \(\displaystyle \dfrac{a-b}{c} = \dfrac{\sin \dfrac{\alpha -\beta }{2} } {\cos \dfrac{\gamma }{2}}\)

 
 

Beweis

[[Bildfehler:../DreieckBen.png|Could not find file 'c:\Hosting\Mathe\html\7_geometrie\f_elemgeo\a_planimetrie\3_dreieck\DreieckBen.png'.]]Zur Herleitung der Formeln benutzen wir den Sinussatz \(\displaystyle \dfrac a c =\dfrac {\sin\alpha}{\sin\gamma}\) und \(\displaystyle \dfrac b c =\dfrac {\sin\beta}{\sin\gamma}\).

\(\displaystyle \dfrac {a+b} c =\dfrac{\sin\alpha+\sin\beta}{\sin\gamma}\)

\(\displaystyle =\dfrac{\sin\alpha+\sin\beta}{2\sin\dfrac \gamma 2\cos\dfrac \gamma 2}\) (Satz 5220A)

\(\displaystyle =\dfrac{\sin\dfrac {\alpha+\beta} 2 \cos\dfrac {\alpha-\beta} 2}{\sin\dfrac \gamma 2\cos\dfrac \gamma 2}\) (Satz 5316D)

\(\displaystyle = \dfrac{\cos \dfrac{\alpha -\beta }{2} } {\sin \dfrac{\gamma }{2}}\) (wegen \(\displaystyle \cos \dfrac \gamma 2=\cos\braceNT{\dfrac \pi 2-\dfrac {\alpha+\beta} 2}=\sin\dfrac {\alpha+\beta} 2\) vgl. Satz 5220B)

Die anderen Formeln ergeben sich durch zyklisches Vertauschen der Seiten und Winkel und analoge Schlussweisen. \(\displaystyle \qed\)

Nach Division der entsprechenden Gleichungen und unter Benutzung von \(\displaystyle \cos \dfrac \gamma 2=\sin\dfrac {\alpha+\beta} 2\), erhält man die Folgerung:

Nepersche Gleichungen

\(\displaystyle \dfrac {a-b} {a+b}=\dfrac {\tan \dfrac {\alpha-\beta} 2} {\tan \dfrac {\alpha+\beta} 2}\) \(\displaystyle \dfrac {b-c} {b+c}=\dfrac {\tan \dfrac {\beta-\gamma} 2} {\tan \dfrac {\beta+\gamma} 2}\) \(\displaystyle \dfrac {c-a} {c+a}=\dfrac {\tan \dfrac {\gamma-\alpha} 2} {\tan \dfrac {\gamma+\alpha} 2}\)

Nicht etwa, daß bei größerer Verbreitung des Einblickes in die Methode der Mathematik notwendigerweise viel mehr Kluges gesagt würde als heute, aber es würde sicher viel weniger Unkluges gesagt.

Karl Menger

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Das Dreieck