Inhalt

- Grundlagen der Mathematik

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- Analysis

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- Differentialgeometrie

- Topologie

   - Metrische Räume

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      - Umgebungen und Mengen

          Innere, äußere und

          Randpunkte

          Offener Kern

          Offene Mengen

          Abgeschlossene Mengen

          Rand und abgeschlossene

          Hülle

          Häufungspunkte

          Dichte Mengen

          Cantormenge

          Zusammenhang

      - Folgen und Konvergenz

      - Abbildungen und Stetigkeit

      - Kompaktheit

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- Stochastik

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Dichte und nirgends dichte Mengen

Eine Teilmenge A eines metrischen Raum M heißt dicht in M, wenn ihre abgeschlossene Hülle mit M zusammenfällt, also A = M

A heißt nirgends dicht, wenn ihre abgeschlossene Hülle keine inneren Punkte enthält, also . Teilmengen nirgends dichter Mengen sind immer selbst nirgends dicht.

Beispiele

Die rationalen Zahlen liegen dicht in den reellen Zahlen .

Die Kreislinie ist nirgends dicht. Sie ist abgeschlossen (sogar perfekt) und enthält keine inneren Punkte.

Suchen wir eine nirgends dichte perfekte Menge ohne innere Punkte, die Teilmenge der reellen Zahlen ist, so kommt dafür das Cantorsche Diskontinuum in Frage.

Satz 1664

1. Sei A ist genau dann nirgends dicht, wenn (A^c )° = (A)^c dicht ist
2. Jede abgeschlossene Menge A, die zugleich nirgends dicht ist, besteht nur aus Randpunkten.

Beweis

(i) Es ist (benutzt wurde Satz 16RI).

(ii) A ist abgeschlossen, also A = A und nirgends dicht, also . damit ist . Nun ist . .

Ich glaube, daß es, im strengsten Verstand, für den Menschen nur eine einzige Wissenschaft gibt, und diese ist reine Mathematik. Hierzu bedürfen wir nichts weiter als unseren Geist.

Georg Christoph Lichtenberg

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