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Grundlagen der Mathematik

Diskrete Mathematik

Algebra

Lineare Algebra

Vektorräume

Matrizen

Lineare Gleichungssysteme

Determinanten

Alternierende Formen

Definition der

Determinante

Eigenschaften

Cramersche Regel

Leibnizformel

Rangbestimmung

Eigenwerte

Geometrie

Analysis

Differentialgleichungen

Funktionalanalysis

Differentialgeometrie

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Determinanten

In der Linearen Algebra ist die Determinante eine spezielle Funktion, die einer quadratischen Matrix oder einem linearen Endomorphismus eine Zahl zuordnet. Zum Beispiel hat die 2×2-Matrix

die Determinante

Die Formel für größere Matrizen wird weiter unten angegeben. Die Determinante von A wird manchmal als |A| geschrieben.

Mit Hilfe von Determinanten kann man feststellen, ob ein Lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich null ist. Entsprechend ist eine quadratische Matrix genau dann invertierbar wenn ihre Determinante ungleich null ist.

Man bildet die Determinante von n Vektoren im , indem man die Determinante der quadratischen Matrix berechnet, deren Spalten die gegebenen Vektoren sind. Mit dieser Festlegung kann das Vorzeichen der Determinante einer Basis dazu verwendet werden, den Begriff der Orientierung in Euklidischen Räumen zu definieren.

Determinanten werden zur Berechnung von Volumina in der Vektorrechnung verwendet: der Absolutbetrag der Determinante von reellen Vektoren ist gleich dem Volumen des Parallelepipeds (auch Spat genannt), das durch diese Vektoren aufgespannt wird. Eine Folgerung ist: Wird die lineare Abbildung durch die Matrix A repräsentiert, und ist eine beliebige messbare Teilmenge, dann ist das Volumen von f(S) durch gegeben. Allgemeiner gilt: Wird die lineare Abbildung durch die m-mal-n Matrix A repräsentiert, und ist eine beliebige messbare Teilmenge, so ist das n-dimensionale Volumen von f(S) gegeben durch .

Geschichte

Historisch gesehen wurden Determinanten bereits vor den Matrizen betrachtet. Ursprünglich war eine Determinante als eine Eigenschaft eines linearen Gleichungssystems definiert. Die Determinante "determiniert", ob das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung besitzt (dies ist genau dann der Fall, wenn die Determinante ungleich Null ist). In diesem Zusammenhang wurden 2×2-Matrizen von Cardano Ende des 16. Jahrhunderts und größere von Leibniz ungefähr 100 Jahre später behandelt.

Definition und Berechnung

Sei A = (a_{i, j} ) eine quadratische Matrix.

Matrizen bis zur Größe 3×3

Für eine nur aus einem Koeffizienten bestehende 1×1-Matrix A ist

det(A) = a₁₁ .

Falls A eine 2×2-Matrix ist, dann ist

Für eine 3×3-Matrix A, ist die Formel komplizierter:

- a₁₃ a₂₂ a₃₁ - a₁₁ a₂₃ a₃₂ - a₁₂ a₂₁ a₃₃ .

Will man diese Determinante von Hand berechnen, so stellt die Regel von Sarrus dafür ein einfaches Schema zur Verfügung.

Leibniz-Formel

Für eine allgemeine n×n-Matrix wurde die Determinante von Gottfried Leibniz durch die heute als Leibniz-Formel bekannte Formel definiert:

Die Summe wird über alle Permutationen der Zahlen {1,...,n} berechnet und sgn bezeichnet das Vorzeichen der Permutation : +1, falls eine gerade Permutation ist und -1, falls sie ungerade ist.

Diese Formel enthält n! Summanden und ist somit unhandlich, falls n größer als 3 ist. Sie eignet sich jedoch zum Beweis von Aussagen über Determinanten.

Gauß-Algorithmus zur Determinantenberechnung

Im Allgemeinen können Determinanten mit dem Gauß-Algorithmus unter Verwendung der folgenden Regeln berechnet werden:

Falls A eine obere (untere) Dreiecksmatrix ist, also a_{i, j} = 0 für i > (<) j (nur Nullen unterhalb (oberhalb) der Hauptdiagonalen), dann ist
det(A) = a_{1, 1} · a_{2, 2} · ... · a_{n, n}

das Produkt der Hauptdiagonal-Einträge

Falls B sich aus A ergibt, indem man 2 Zeilen oder Spalten austauscht, dann ist det(B) = - det(A)
Falls B sich aus A ergibt, indem man ein Vielfaches einer Zeile oder Spalte zu einer anderen Zeile oder Spalte addiert, dann ist det(B) = det(A).
Falls B sich aus A ergibt, indem man ein Vielfaches c einer Zeile oder Spalte bildet, dann ist det(B) = c · det(A).

Beginnend mit einer beliebigen quadratischen Matrix benutzt man die letzten vier Regeln, um die Matrix in eine obere Dreiecksmatrix zu überführen, und berechnet dann die Determinante als Produkt der Diagonalelemente.

Laplacescher Entwicklungssatz

Mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz kann man die Determinante einer Matrix "nach einer Zeile oder Spalte entwickeln". Die beiden Formeln lauten

(Entwicklung nach der j-ten Spalte)

(Entwicklung nach der i-ten Zeile)

wobei A_ij die -Untermatrix von A ist, die durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht. Das Produkt (-1)^{i + j} det(A_ij ) wird Cofaktor genannt.

Genau genommen gibt der Entwicklungssatz nur ein Verfahren an, die Summanden der Leibniz-Formel in einer bestimmten Reihenfolge zu berechnen. Dabei wird die Determinante bei jeder Anwendung um eine Dimension reduziert. Falls gewünscht, kann das Verfahren so lange angewandt werden, bis sich ein Skalar ergibt. Der Laplace'sche Entwicklungssatz ist bei kleinen Matrizen und Matrizen mit vielen Nullen sehr effizient. Ein Beispiel ist

= 0 + 1 + 2 = 3 (Entwicklung nach der ersten Zeile)

Eigenschaften

Produktregel

Die Determinante ist eine multiplikative Abbildung in dem Sinne, dass

det(''AB'') = det(A)det(B) für alle n×n-Matrizen A und B.

Multiplikation mit Skalaren

Es ist einfach zu sehen, dass det(rE_n ) = rⁿ und somit

det(rA) = rⁿ det(A) für alle n×n Matrizen A und alle Skalare r.

Inverses

Falls A invertierbar ist, dann ist

det(A^-1 ) = det(A)^-1 .

Transponierte Matrix

Eine Matrix und ihre Transponierte haben dieselbe Determinante:

det(A) = det(A^t ).

Ableitung

Die Determinante von reellen quadratischen Matrizen fester Dimension n ist eine Polynomfunktion und als solche überall differenzierbar. Ihre Ableitung kann mit Hilfe von Jacobis Formel dargestellt werden:

d det(A) = spur(A^# dA)

wobei A^# die zu A komplementäre Matrix bezeichnet. Insbesondere ergibt sich für invertierbares A, dass

d det(A) = det(A) spur(A^-1 dA)

oder vereinfacht,

det(A + X) - det(A) ≈ det(A) spur(A^-1 X)

falls die Werte der Matrix X hinreichend klein sind. Der Spezialfall wenn A gleich der Einheitsmatrix E ist, ergibt

det(E + X) ≈ 1 + spur(X).

Verallgemeinerungen

Es ist sinnvoll, die Determinante für Matrizen zu definieren, deren Einträge in einem kommutativen Ring liegen. Die Regeln zur Berechnung, die Leibniz-Formel und die Kompatibilität mit der Matrix-Muliplikation bleiben gültig, mit der Ausnahme, dass nun eine Matrix A genau dann invertierbar ist, falls det(A) ein invertierbares Element des zugrundeliegenden Ringes ist.

Für manche Zwecke betrachtet man auch formale Determinanten, deren Einträge sowohl Skalare als auch Vektoren sind, z.B. bei der Definition eines verallgemeinerten Kreuzprodukts. Diese werden mit der Leibniz-Formel berechnet (selbstverständlich dürfen dabei keine Vektoren miteinander multipliziert werden).

Siehe auch

Determinantenfunktion
Wronski-Determinante
Pfaffsche Determinante
Vandermonde-Determinante
Gramsche Determinante
Funktionaldeterminante (Jacobi-Determinante)

Gott existiert, weil die Mathematik widerspruchsfrei ist, und der Teufel existiert, weil wir das nicht beweisen können.

Andre Weil

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