Inhalt

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Der goldene Schnitt

Der goldene Schnitt bezeichnet das Teilungsverhältnis einer Strecke, bei dem sich die kleinere Teilstrecke zur größeren Teilstrecke genauso verhalten soll, wie die größere zur Gesamtstrecke.

Nehmen wir für die kürzeste Strecke die Länge 1 an, können wir die Verhältnisgleichung

,

Unter Benutzung von Formel 5513D erhalten wir die Lösungen

.

Da wir nach einem Verhältnis gesucht haben, kommt nur die positive Lösung in Frage. Die Zahl des goldenen Schnittes g ist also:

Satz 16I1 (Irrationalität des goldenen Schnitts)

ist irrational.

Beweis

Sei rational, wobei der Bruch gekürzt ist, also teilerfremd sind.

Dann gilt (da p und q teilerfremd).

Analog ergibt sich aus p² = q(p + q), dass q = 1. Da 1 keine Lösung für den goldenen Schnitt ist, erhält man einen Widerspruch, womit g irrational ist.

Die alten Griechen mit ihrer Vorstellung, dass sich die Ordnung des Universum in rationalen Verhältnissen widerspiegelt, waren ziemlich schockiert, dass gerade der goldene Schnitt als Inbegriff eines harmonischen Zahlenverhältnisses irrational ist.

An Archimedes wird man sich erinnern, wenn Aischylos vergessen ist - weil zwar die Sprachen sterben, nicht aber die mathematischen Ideen.

Godfrey Harold Hardy

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