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Definition der Fourierreihe

Sei eine -periodische Funktion, d.h. es gelte:

Ist und riemannintegrierbar, so gilt

Deswegen können wir uns bei den folgenden Betrachtungen auf das Intervall beschränken.

Definition trigonometrische Reihe

Gegeben seien reelle Folgen und . Eine Funktionenreihe der Form

heißt trigonometrische Reihe.

Falls eine trigonometrische Reihe konvergiert, so ist die durch sie dargestellte Funktion -periodisch.

Umgekehrt kann man nun fragen: Wann lässt sich eine gegebene -periodische Funktion durch eine trigonometrische Reihe darstellen? D.h. wann gibt es Folgen (a_n ), (b_n ) mit

(1)

Wir nehmen zunächst an, dass (1) gilt und untersuchen die a_n und b_n . Dazu setzen wir voraus, dass die Reihe (1) gleichmäßig konvergiert auf . Sei nun fest.

f(x)sin(kx)

Die Reihe (c_n ) konvergiert ebenfalls gleichmäßig auf und nach Satz 16K9 ist f(x)sin(kx) riemannintegrierbar über mit

(Satz 16SO)

Also:

(2)

(für

)

Multipliziert man (1) mit cos(kx) (für ) und integriert wieder über , so erhält man entsprechend:

(3)

(für

)

Definition Fourierreihe

Sei . Dann heißen die in (2) und (3) definierten Zahlen die Fourier-Koeffizienten von f. Die mit diesen Koeffizienten gebildete trigonometrische Reihe

heißt die zu f gehörige Fourier-Reihe.

So kann also die Mathematik definiert werden als diejenige Wissenschaft, in der wir niemals das kennen, worüber wir sprechen, und niemals wissen, ob das, was wir sagen, wahr ist.

Bertrand Russell

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