Das gleichseitige Dreieck

Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang und daher auch alle drei Innenwinkel gleich groß (60°). Aus diesem Grund gehört das gleichseitige Dreieck auch zu den regelmäßigen Polygonen.

Das gleichseitige Dreieck zählt zu den spitzwinkligen Dreiecken, weil alle drei Winkel kleiner als 90° sind und außerdem ist das gleichseitige Dreieck auch ein gleichschenkliges Dreieck.

Alle gleichseitigen Dreiecke sind zueinander ähnlich, da sie ja stets in den drei gleich großen Winkeln übereinstimmen.

Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende, Seitenhalbierende und Höhe zu einer Seite fallen bei einem gleichseitigen Dreieck jeweils zusammen. Entsprechendes gilt für den Umkreismittelpunkt, den Inkreismittelpunkt, den Schwerpunkt und den Höhenschnittpunkt des gleichseitigen Dreiecks.

 
 

Formeln

Umfang

\(\displaystyle u=3\cdot a\)

Höhe

Flächeninhalt

\(\displaystyle A = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \, a^{2}\)

Nach der Flächenformel gilt \(\displaystyle A=\dfrac 1 2 a h\)\(\displaystyle =\dfrac 1 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \, a=\dfrac{\sqrt{3}}{4} \, a^{2}\).

Formel C94C (Umkreisradius)

\(\displaystyle r = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \, a=\dfrac{a}{\sqrt{3}}\)

Nach Satz 5515F gilt \(\displaystyle r=\dfrac a {2\sin\alpha}\) \(\displaystyle =\dfrac a {2\sin 60°}\)

(Tabelle 7CGF)\(\displaystyle =\dfrac a 2 \cdot \dfrac 2 {\sqrt 3}\)

Formel 91NB (Inkreisradius)

\(\displaystyle \rho = \dfrac{\sqrt{3}}{6} \, a\). Wegen \(\displaystyle h = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \, a\) gilt außerdem \(\displaystyle h=3\rho\)

Nach Satz 5515J ist \(\displaystyle \rho=\sqrt{ \dfrac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}\) mit \(\displaystyle s=\dfrac{a+b+c}2=\dfrac 3 2 a\). Also \(\displaystyle \rho =\sqrt{\dfrac {\dfrac 1 2 a\cdot\dfrac 1 2 a\cdot\dfrac 1 2 a }{\dfrac 3 2 a}}\) \(\displaystyle =\sqrt{\dfrac 1 {12} a^2}\) \(\displaystyle = \dfrac{\sqrt{3}}{6} \, a\).

Der folgende Satz geht auf den italienischen Mathematiker Vincenzo Viviani (1622 - 1703) zurück.

Satz 91NA (Satz von Viviani)

In einen gleichseitigen Dreieck gilt: ist \(\displaystyle D\) ein beliebiger Punkt im Inneren, so ist die Summe der Abstände dieses Punktes von den Seiten konstant und gleich der Länge der Höhe \(\displaystyle h\).

\(\displaystyle u+v+w = h = 3\rho \)

Dabei bezeichnet \(\displaystyle h\) die Höhe des Dreiecks und \(\displaystyle \rho\) den Inkreisradius.

Beweis

\(\displaystyle h = 3\rho\) gilt nach Formel 91NB.

Der Beweis wird über eine Flächenzerlegung geführt.

Für die Fläche \(\displaystyle A_D\) des gleichseitigen Dreiecks \(\displaystyle ABC\) gilt \(\displaystyle A_D=\dfrac{ah}2\), wobei \(\displaystyle a=\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CA}\) die Grundseite und \(\displaystyle h\,\) die Höhe ist.

In den farbig markierten Dreiecken sind \(\displaystyle u\), \(\displaystyle v\) und \(\displaystyle w\) gerade die Höhen und für die Flächen gilt: \(\displaystyle A_{\triangle ABD}=\dfrac{au}2\), \(\displaystyle A_{\triangle CDB}=\dfrac{aw}2\) und \(\displaystyle A_{\triangle ADC}=\dfrac{av}2\). Damit ist

\(\displaystyle A_D=\dfrac{ah}2=\dfrac{au}2+\dfrac{av}2+\dfrac{aw}2\)

Damit folgt die Behauptung \(\displaystyle h = u+v+w \). \(\displaystyle \qed\)

Es gibt keinen Königsweg zur Mathematik.

Euklid

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Das Dreieck