Das Viereck

Vier voneinander verschiedene Punkte, von denen keine drei auf einer Geraden liegen, legen ein Viereck fest. Wir gehen hier vom konvexen Viereck aus. Anschaulich heißt das, dass es keinen "Knick nach innen" hat. Mathematisch formuliert: Mit je zwei Punkten innerhalb des Vierecks liegt auch ihre Verbindungsstrecke innerhalb.

Die obige Grafik zeigt ein konvexes Viereck und die untere ein kokaves.

Verbindet man zwei nicht durch eine Seite verbundene Punkte, erhält man eine Diagonale (z.B. \(\displaystyle \overline{BD}\) in den obigen Grafiken).

 
 

Innenwinkelsumme

Die Summe der Innenwinkel im Viereck beträgt 360°.

Dies ist leicht einzusehen: Zeichnet man eine Diagonale ein, so erhält man zwei Dreiecke. Die Summe der Innenwinkelsummen dieser Dreiecke ergibt aber gerade die Innenwinkelsumme des Vierecks.

Daraus folgt, dass es keine "spitzwinkligen" Vierecke (Vierecke nur mit spitzen Winkeln) geben kann. Denn gäbe es diese, wäre ihre Innenwinkelsumme kleiner als 360°. Damit muss jedes Viereck (wenn es kein Rechteck ist) wenigstens einen stumpfen Innenwinkel beinhalten.

Satz 5512A

Wenn man die Mittelpunkte der Seiten eines Vierecks verbindet, erhält man ein Parallelogramm.

Beweis

Auf Grund des Strahlensatzes kann man zeigen, dass \(\displaystyle \overline{BD}||\overline{EH}\) und \(\displaystyle \overline{BD}||\overline{FG}\), womit dann auch \(\displaystyle \overline{FG}||\overline{EH}\). Analog kann man nachweisen, dass die beiden anderen Seiten parallel sind. \(\displaystyle \qed\)

Alle Pädagogen sind sich darin einig: man muß vor allem tüchtig Mathematik treiben, weil ihre Kenntnis fürs Leben größten direkten Nutzen gewährt.

Felix Klein

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