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Cramersche Regel

Adjunkte

Sei gegeben, dann heißt mit die Adjunkte (oder adjungierte Matrix) zu A. (Man beachte die Indizes in A_ji !)

Beispiel

Sei , dann ist .

Es gilt . Dies ist kein Zufall, denn es gilt allgemein:

Satz 16ND (Determinante und Adjunkte)

Sei , dann gilt

Insbesondere gilt: Ist A invertierbar, so ist und dann gilt

.

Beweis

Sei . Dann ist

= detA'    (bei Entwicklung nach j-ter Zeile).

Die Matrix A' entsteht nun aus A, indem die j-te Zeile durch die i-te ersetzt wird.

Daher ist , denn im Fall enthält A' zwei gleiche Zeilen.

Beispiel

Für gilt: es existiert mit .

"": .

"": .

Die Lösung von linearen Gleichungssystemen lässt sich auf die alleinige Berechnung von Determinanten zurückführen, wie der folgende Satz zeigt.

Satz 16NE (Cramersche Regel)

Für , hat das lineare Gleichungssystem Ax = b die eindeutige Lösung

(1)	xi = (A-1 b)i .

Beweis

Gegeben ist das lineare Gleichungssystem Ax = b. Weil existiert . Gesucht ist x_i . Betrachte i-te Zeile von A^-1 b = x. Dann gilt: x_i = (A^-1 b)_i

Mit und B als diejenige Matrix, die durch Ersetzen der i-ten Spalte aus A durch den Vektor b entsteht:

    (det B entwickelt nach der i -ten Spalte)

Die Formel (1) ist für die praktische Berechnung der Lösung eines linearen Gleichungssystems ungeeignet, da n + 1 Determinanten berechnet werden müssen, was der n + 1-maligen Anwendung des Gaußschen Algorithmus entspricht.

Alles, was lediglich wahrscheinlich ist, ist wahrscheinlich falsch.

Rene Descartes

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