Cholesky-Zerlegung

Die Cholesky-Zerlegung ist ein numerisches Verfahren zur Zerlegung einer symmetrischen positiv definiten Matrix in das Produkt einer unteren Dreiecksmatrix und ihrer Transponierten.

Formulierung

Jede symmetrische positiv definite Matrix \(\displaystyle A \in \mathbb{R}^{n\times n}\) kann eindeutig in der Form

\(\displaystyle A=L D L^{T}\)

geschrieben werden. Dabei ist \(\displaystyle L\) eine untere Dreiecksmatrix, deren Diagonalelemente alle gleich \(\displaystyle 1\) sind und \(\displaystyle D\) eine Diagonalmatrix mit positiven Einträgen. Mit der Matrix-"Wurzel" von \(\displaystyle D\) und dem Matrix-Faktor \(\displaystyle G\), definiert durch

\(\displaystyle D = D^{1/2}D^{1/2}\)

und

\(\displaystyle G := LD^{1/2}\),

wird die Cholesky-Zerlegung - äquivalent - auch formuliert als

\(\displaystyle A=G G^{T}\).

Liegt eine Berechnung der Cholesky-Zerlegung vor, so lässt sich das Gleichungssystem \(\displaystyle Ax=b\) effizient durch Vorwärts- und Rückwärtseinsetzen lösen:

 
 

Berechnung

Formeln

\(\displaystyle g_{ik} = \begin{cases}0 & \text{für}\ i < k\\ \sqrt{a_{kk} - \sum\limits\limits_{j=1}^{k-1}g_{kj}^2 } &\text{für}\ i = k\\ \dfrac{1}{g_{kk}} \left( a_{ik}-\sum\limits\limits_{j=1}^{k-1}g_{ij} g_{kj} \right) & \text{für}\ i > k \end{cases}\)

Aufwand

Den Aufwand der Berechnung betreffend muss die Cholesky-Zerlegung mit dem Eliminationsverfahren nach Gauß und seiner algorithmischen Umsetzung, der LR-Zerlegung, verglichen werden. Letzteres erfordert etwa doppelt so viele Operationen, da nicht nur eine Matrix \(\displaystyle L\), sondern zwei Faktoren \(\displaystyle L\) und \(\displaystyle R\) berechnet werden müssen. Der Algorithmus benötigt ca. \(\displaystyle \dfrac{1}{3}n^3\) Operationen.

Beispiel

\(\displaystyle A=G G^{T}\)

mit

\(\displaystyle A= \begin{pmatrix} 4 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 2 \\ 0 & 2 & 5 \end{pmatrix} \)

und

\(\displaystyle G= \begin{pmatrix} g_{11} & 0 & 0 \\ g_{21} & g_{22} & 0 \\ g_{31} & g_{32} & g_{33} \end{pmatrix} \) und
\(\displaystyle G^{T}= \begin{pmatrix} g_{11} & g_{21} & g_{31} \\ 0 & g_{22} & g_{32} \\ 0 & 0 & g_{33} \end{pmatrix} \) ergibt sich
\(\displaystyle G G^{T}= \begin{pmatrix} g_{11}^2 & g_{11}g_{21} & g_{11}g_{31} \\ g_{21}g_{11} & g_{21}^2+g_{22}^2 & g_{21}g_{31}+g_{22}g_{32} \\ g_{31}g_{11} & g_{31}g_{21}+g_{22}g_{32} & g_{31}^2+g_{32}^2+g_{33}^2 \end{pmatrix}\)\(\displaystyle =\begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{21} & a_{22} & a_{32} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}=A \)

Durch Gleichsetzen der Matrixelemente folgt:

\(\displaystyle g_{11}^2 = a_{11} = 4 \qquad \Rightarrow \qquad g_{11}=2\)
\(\displaystyle g_{21} \cdot g_{11}= a_{21} = 2 \qquad \Rightarrow \qquad g_{21}=1\)

So wird für die restlichen \(\displaystyle g\)s weiterverfahren. Schließlich ergibt sich

\(\displaystyle G= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \)

und

\(\displaystyle G^{T}= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \).

Einsatzbereiche

Bei der Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate, ist eine Möglichkeit, in jedem Schritt die Normalgleichungen, die eine symmetrisch positiv definite Matrix haben, mit dem Cholesky-Verfahren zu lösen. Dies war die Motivation von Cholesky. Beim Gauß-Newton-Verfahren ist damit bei jedem Iterationsschritt ein Gleichungssystem zu lösen, welches sich mit dem Cholesky-Verfahren bestimmen lässt.

Die Choleskyzerlegung kann auch zur Gewinnung eines Vorkonditionierungsverfahrens für lineare Gleichungssysteme mit positiv definiter Matrix benutzt werden; zu diesem Zweck gibt es speziell die Variante der unvollständigen Cholesky-Zerlegung sowie der modifizierten unvollständigen Cholesky-Zerlegung.

Gleichzeitig stellt die Zerlegung einen Test dar, ob eine gegebene symmetrische Matrix positiv definit ist. Andernfalls ist nämlich einer der Einträge auf der Diagonalen negativ, so dass die Wurzel nicht gezogen werden kann, oder Null, so dass nicht durch den Eintrag geteilt werden kann. In beiden Fällen bricht der Algorithmus ab.

Außerhalb der Mathematik findet die Cholesky-Zerlegung auch Anwendung in der ökonometrischen Erforschung makroökonomischer Zusammenhänge. Hierbei wird bei sogenannten Vektorautoregressiven Modellen (VAR) die Reihenfolge der Beeinflussung der endogenen Variablen untereinander festgelegt.

Darüber hinaus wird sie auch bei der Monte-Carlo-Simulation eingesetzt, um vorgegebene Korrelationen in unabhängig generierte Zufallszahlenfolgen (als Diskretisierung stochastischer Prozesse) zu bringen.

Im großen Garten der Geometrie kann sich jeder nach seinem Geschmack einen Strauß pflücken.

David Hilbert

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