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Elementare Zahlentheorie


Chinesischer Restsatz

Chinesischer Restsatz ist der Name mehrerer ähnlicher Theoreme der abstrakten Algebra und Zahlentheorie.

Simultane Kongruenzen ganzer Zahlen

Eine simultane Kongruenz ganzer Zahlen ist ein System von linearen Kongruenzen

\(\displaystyle \array{ {x \equiv {a_1} {\mod m_1} } \\{x \equiv {a_2} {\mod m_2} }\\ {\, \vdots \, \, } \\{x \equiv {a_n} { \mod m_n} } }\)

für die alle \(\displaystyle x\) bestimmt werden sollen, die sämtliche Kongruenzen gleichzeitig lösen. Wenn eine Lösung \(\displaystyle x\) existiert, dann sind mit \(\displaystyle M := \kgV(m_1, m_2, m_3, \ldots, m_n)\) die Zahlen \(\displaystyle x + kM\) \(\displaystyle (k \in \mathbb{Z})\) genau alle Lösungen. Es kann aber auch sein, dass es gar keine Lösung gibt.

 
 

Teilerfremde Moduln

Die Originalform des Chinesischen Restsatzes aus einem Buch des chinesischen Mathematikers Ch'in Chiu-Shao aus dem Jahr 1247 ist eine Aussage über simultane Kongruenzen für den Fall, dass die Moduln teilerfremd sind. Sie lautet:

Seien \(\displaystyle m_1, \ldots, m_n\) paarweise teilerfremde ganze Zahlen, dann existiert für jedes Tupel ganzer Zahlen \(\displaystyle a_1, \ldots, a_n\) eine ganze Zahl \(\displaystyle x\), die die folgende simultane Kongruenz erfüllt:

\(\displaystyle x \equiv a_i \mod m_i\) für \(\displaystyle i = 1, \ldots, n\)

Alle Lösungen dieser Kongruenz sind kongruent modulo \(\displaystyle M := m_1 m_2 m_3 \ldots m_n\).

Das Produkt \(\displaystyle M\) stimmt hier wegen der Teilerfremdheit mit dem kgV überein.

Finden einer Lösung

Eine Lösung \(\displaystyle x\) kann man wie folgt ermitteln. Für jedes \(\displaystyle i\) sind die Zahlen \(\displaystyle m_i\) und \(\displaystyle M_i := M / m_i\) teilerfremd, also kann man z.B. mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus zwei Zahlen \(\displaystyle r_i\) und \(\displaystyle s_i\) finden, so dass

\(\displaystyle r_i \cdot m_i + s_i \cdot M_i = 1\).

Setzen wir \(\displaystyle e_i := s_i \cdot M_i\), dann gilt

\(\displaystyle e_i \equiv 1 \mod m_i\)
\(\displaystyle e_i \equiv 0 \mod m_j, \ j \neq i\).

Die Zahl

\(\displaystyle x := \sum\limits_{i=1}^n a_i e_i\)

ist dann eine Lösung der simultanen Kongruenz.

Beispiel

Gesucht sei eine ganze Zahl \(\displaystyle x\) mit der Eigenschaft

\(\displaystyle \array{ {x \equiv 2 {\pmod 3} } {x \equiv 3 {\pmod 4} } {x \equiv 2 {\pmod 5} } }\)

Hier ist \(\displaystyle M = 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60, \ M_1 = M/3 = 20, \ M_2 = M/4 = 15, \ M_3 = M/5 = 12\).

Mit Hilfe des erweiterten Euklidischen Algorithmus berechnet man

\(\displaystyle (-13) \cdot 3 + 2 \cdot 20 = 1\), also \(\displaystyle e_1 = 40\)
\(\displaystyle (-11) \cdot 4 + 3 \cdot 15 = 1\), also \(\displaystyle e_2 = 45\)
\(\displaystyle 5 \cdot 5 + (-2) \cdot 12 = 1\), also \(\displaystyle e_3 = -24\)

Eine Lösung ist dann \(\displaystyle x = 2 \cdot 40 + 3 \cdot 45 + 2 \cdot (-24) = 167\). Wegen \(\displaystyle 167 \equiv 47 \mod 60\) sind alle anderen Lösungen also kongruent zu 47 modulo 60.

Allgemeiner Fall

Auch im Fall, dass die Moduln nicht teilerfremd sind, existiert manchmal eine Lösung. Die genaue Bedingung lautet:

Eine Lösung der simultanen Kongruenz existiert genau dann, wenn für alle \(\displaystyle i \neq j\) gilt:

\(\displaystyle a_i \equiv a_j \mod \ggT(m_i, m_j)\).

Alle Lösungen sind dann kongruent modulo dem kgV der \(\displaystyle m_i\).

Eine simultane Kongruenz lässt sich im Falle der Existenz einer Lösung z.B. durch sukzessive Substitution lösen, auch wenn die Moduln nicht teilerfremd sind.

Beispiel

Ein klassisches Rätsel besteht darin, die kleinste natürliche Zahl zu finden, die bei Division durch 2, 3, 4, 5 und 6 jeweils den Rest 1 lässt, und durch 7 teilbar ist. Gesucht ist also die kleinste positive Lösung \(\displaystyle x\) der simultanen Kongruenz

\(\displaystyle \array{ {x \equiv 1 \mod 2 } \\{x \equiv 1 \mod 3 } \\{x \equiv 1 \mod 4 } \\{x \equiv 1 \mod 5 } \\{x \equiv 1 \mod 6 }\\ {x \equiv 0 \mod 7 } }\)

Da die Moduln nicht teilerfremd sind, kann man nicht direkt den Chinesischen Restsatz (mit Lösungsverfahren) anwenden.

Man kann aber die ersten fünf Bedingungen zusammenfassen zu \(\displaystyle x \equiv 1 \mod \kgV(2, 3, 4, 5, 6)\), d.h. zu finden ist eine Lösung von

\(\displaystyle \array{ {x \equiv 1 \mod 60 } \\{x \equiv 0 \mod 7 } }\)

Dieses Kongruenzsystem ist nun mit dem Chinesischen Restsatz lösbar. (Die Lösung sei dem Leser überlassen.)

Seit der Zeit der Griechen bedeutet "Mathematik" zu sagen, "Beweis" zu sagen.

N. Bourbaki

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