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Elementare Zahlentheorie


Chinesischer Restsatz

Chinesischer Restsatz ist der Name mehrerer ähnlicher Theoreme der abstrakten Algebra und Zahlentheorie.

Simultane Kongruenzen ganzer Zahlen

Eine simultane Kongruenz ganzer Zahlen ist ein System von linearen Kongruenzen

\( \array{ {x \equiv {a_1} {\mod m_1} } \\{x \equiv {a_2} {\mod m_2} }\\ {\, \vdots \, \, } \\{x \equiv {a_n} { \mod m_n} } }\)

für die alle \(x\) bestimmt werden sollen, die sämtliche Kongruenzen gleichzeitig lösen. Wenn eine Lösung \(x\) existiert, dann sind mit \(M := \kgV(m_1, m_2, m_3, \ldots, m_n)\) die Zahlen \(x + kM\) \((k \in \mathbb{Z})\) genau alle Lösungen. Es kann aber auch sein, dass es gar keine Lösung gibt.

 
 

Teilerfremde Moduln

Die Originalform des Chinesischen Restsatzes aus einem Buch des chinesischen Mathematikers Ch'in Chiu-Shao aus dem Jahr 1247 ist eine Aussage über simultane Kongruenzen für den Fall, dass die Moduln teilerfremd sind. Sie lautet:

Seien \(m_1, \ldots, m_n\) paarweise teilerfremde ganze Zahlen, dann existiert für jedes Tupel ganzer Zahlen \(a_1, \ldots, a_n\) eine ganze Zahl \(x\), die die folgende simultane Kongruenz erfüllt:

\(x \equiv a_i \mod m_i\) für \(i = 1, \ldots, n\)

Alle Lösungen dieser Kongruenz sind kongruent modulo \(M := m_1 m_2 m_3 \ldots m_n\).

Das Produkt \(M\) stimmt hier wegen der Teilerfremdheit mit dem kgV überein.

Finden einer Lösung

Eine Lösung \(x\) kann man wie folgt ermitteln. Für jedes \(i\) sind die Zahlen \(m_i\) und \(M_i := M / m_i\) teilerfremd, also kann man z.B. mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus zwei Zahlen \(r_i\) und \(s_i\) finden, so dass

\(r_i \cdot m_i + s_i \cdot M_i = 1\).

Setzen wir \(e_i := s_i \cdot M_i\), dann gilt

\(e_i \equiv 1 \mod m_i\)
\(e_i \equiv 0 \mod m_j, \ j \neq i\).

Die Zahl

\(x := \sum\limits_{i=1}^n a_i e_i\)

ist dann eine Lösung der simultanen Kongruenz.

Beispiel

Gesucht sei eine ganze Zahl \(x\) mit der Eigenschaft

\(\array{ {x \equiv 2 {\pmod 3} } {x \equiv 3 {\pmod 4} } {x \equiv 2 {\pmod 5} } }\)

Hier ist \(M = 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60, \ M_1 = M/3 = 20, \ M_2 = M/4 = 15, \ M_3 = M/5 = 12\).

Mit Hilfe des erweiterten Euklidischen Algorithmus berechnet man

\((-13) \cdot 3 + 2 \cdot 20 = 1\), also \(e_1 = 40\)
\((-11) \cdot 4 + 3 \cdot 15 = 1\), also \(e_2 = 45\)
\(5 \cdot 5 + (-2) \cdot 12 = 1\), also \(e_3 = -24\)

Eine Lösung ist dann \(x = 2 \cdot 40 + 3 \cdot 45 + 2 \cdot (-24) = 167\). Wegen \(167 \equiv 47 \mod 60\) sind alle anderen Lösungen also kongruent zu 47 modulo 60.

Allgemeiner Fall

Auch im Fall, dass die Moduln nicht teilerfremd sind, existiert manchmal eine Lösung. Die genaue Bedingung lautet:

Eine Lösung der simultanen Kongruenz existiert genau dann, wenn für alle \(i \neq j\) gilt:

\(a_i \equiv a_j \mod \ggT(m_i, m_j)\).

Alle Lösungen sind dann kongruent modulo dem kgV der \(m_i\).

Eine simultane Kongruenz lässt sich im Falle der Existenz einer Lösung z.B. durch sukzessive Substitution lösen, auch wenn die Moduln nicht teilerfremd sind.

Beispiel

Ein klassisches Rätsel besteht darin, die kleinste natürliche Zahl zu finden, die bei Division durch 2, 3, 4, 5 und 6 jeweils den Rest 1 lässt, und durch 7 teilbar ist. Gesucht ist also die kleinste positive Lösung \(x\) der simultanen Kongruenz

\(\array{ {x \equiv 1 \mod 2 } \\{x \equiv 1 \mod 3 } \\{x \equiv 1 \mod 4 } \\{x \equiv 1 \mod 5 } \\{x \equiv 1 \mod 6 }\\ {x \equiv 0 \mod 7 } }\)

Da die Moduln nicht teilerfremd sind, kann man nicht direkt den Chinesischen Restsatz (mit Lösungsverfahren) anwenden.

Man kann aber die ersten fünf Bedingungen zusammenfassen zu \(x \equiv 1 \mod \kgV(2, 3, 4, 5, 6)\), d.h. zu finden ist eine Lösung von

\(\array{ {x \equiv 1 \mod 60 } \\{x \equiv 0 \mod 7 } }\)

Dieses Kongruenzsystem ist nun mit dem Chinesischen Restsatz lösbar. (Die Lösung sei dem Leser überlassen.)

Das ist ein Mittel, das Paradies nicht zu verfehlen: auf der einen Seite einen Mathematiker, auf der anderen einen Jesuiten; mit dieser Begleitung muß man seinen Weg machen, oder man macht ihn niemals.

Friedrich der Große

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