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Chi-Quadrat-Verteilung

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Dichten der Chi-Quadrat-Verteilung mit verschiedenen Freiheitsgraden n

Die Chi-Quadrat-Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Zahlen.

Im allgemeinen ist mit "Chi-Quadrat-Verteilung" die zentrale Chi-Quadrat-Verteilung gemeint. Ihr einziger Parameter n kann, muss aber nicht, eine natürliche Zahl sein und heißt ihre Zahl der Freiheitsgrade.

Die Chi-Quadrat-Verteilung ist eine so genannte Stichprobenverteilung, die bei der Schätzung von Verteilungsparametern, beispielsweise der Varianz, Anwendung findet. Man benutzt sie zur Beschreibung der Summe unabhängiger quadrierter standardnormalverteilter Zufallsvariablen.

Definition

Dichte und Verteilung von mehreren Chi-quadrat Verteilten Zufallsgrößen

Die Chi-Quadrat-Verteilung mit n Freiheitsgraden ist die Verteilung der Summe

n unabhängiger quadrierter standardnormalverteilter Zufallsvariablen, d. h.

für k = 1, ..., n.

Man schreibt:

Dichte

Die Dichte f_n der -Verteilung mit n Freiheitsgraden, hat die Form:

Dabei steht für die Gammafunktion.

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion kann man nicht in elementarer Form schreiben, jedoch mit Hilfe der regularisierten unvollständigen Gammafunktion:

Eigenschaften

Erwartungswert

Der Erwartungswert der Chi-Quadrat-Verteilung ist

E(X) = n.

Varianz

Die Varianz der Chi-Quadrat-Verteilung ist

Var(X) = 2n.

Modus

Der Modus der Chi-Quadrat-Verteilung ist n - 2 für .

Schiefe

Die Schiefe der Chi-Quadrat-Verteilung ist

Summe ²-verteilter Zufallsvariablen

Sind X₁ , X₂ , ..., X_n unabhängige Zufallsvariable, mit , so gilt:

Nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung

Wenn die normalverteilten Zufallsvariablen nicht bezüglich ihres Erwartungswertes zentriert sind, erhält man die nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung. Sie hat als zweiten Parameter neben n den Nichtzentralitätsparameter .

Seien , so ist

mit

Insbesondere folgt aus und , dass ist.

Eine zweite Möglichkeit, eine nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung zu erzeugen, ist als Mischverteilung der zentralen Chi-Quadrat-Verteilung. Dabei ist

wenn aus einer Poisson-Verteilung gezogen wird.

Die Dichtefunktion der nichtzentralen Chi-Quadrat-Verteilung ist

für

für x < 0.

Darstellung durch modifizierte Bessel-Funktion

Die Dichtefunktion kann alternativ auch mit Hilfe der modifizierten Bessel-Funktion erster Gattung I_q (x) dargestellt werden:

für

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Gammaverteilung

Die Chi-Quadrat-Verteilung ist ein Spezialfall der Gammaverteilung. Ist , so gilt

Beziehung zur Normalverteilung

Quantile einer Normalverteilung und einer Chi-Quadrat-Verteilung

Die Summe X_n = Z²₁ + ... + Z²_n von n unabhängigen quadrierten standardnormalverteilten Zufallsvariablen (i = 1, ..., n) genügt einer Chi-Quadrat-Verteilung mit n Freiheitsgraden.

Für ist näherungsweise standardnormalverteilt.

Für n > 100 ist die Zufallsvariable X näherungsweise normalverteilt mit , wobei bzw. Erwartungswert und Standardabweichung darstellen.

Beziehung zur Exponentialverteilung

Eine Chi-Quadrat-Verteilung mit 2 Freiheitsgraden ist eine Exponentialverteilung Exp(1/2) mit dem Parameter .

Beziehung zur Erlang-Verteilung

Eine Chi-Quadrat-Verteilung mit 2n Freiheitsgraden ist identisch mit einer Erlang-Verteilung mit n Freiheitsgraden und .

Beziehung zur F-Verteilung

Wenn Y_1m und Y_2n unabhängige -verteilte Zufallsvariablen mit den Freiheitsgraden m und n sind, dann ist der Quotient

eine Zufallsvariable, die der F-Verteilung mit den Freiheitsgraden (m,n) genügt.

Beziehung zur stetigen Gleichverteilung

Für gerade n = 2m kann man die -Verteilung als m-fache Faltung bilden mit Hilfe der gleichmäßig stetige Dichte U(0, 1):

worin die u_i m unabhängige gleichmäßig stetig verteilten Zufallsvariablen sind.

Für ungerade n gilt dagegen

Literatur

Hartung, Joachim / Elpelt, Bärbel / Klösener, Karl-Heinz: Statistik, 12. Auflage, Oldenbourg 1999, S. 152 ff., ISBN 3486249843.

"Offensichtlich" ist das gefährlichste Wort in der Mathematik.

Eric Temple Bell

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