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Borelmengen

Sei M ein metrischer Raum (topologischer Raum). Wir betrachten das System der offenen Mengen . Die von erzeugte -Algebra heißt die -Algebra der Borelmengen aus M oder borelsche -Algebra.

Mit bezeichnen wir die -Algebra der Borelmengen in und ist die -Algebra der Borelmengen in .

Bemerkungen

Da für jeden topologischen Raum die Potenzmenge eine -Algebra ist, existiert auch die borelsche -Algebra zu .

Eine borelsche -Algebra ermöglicht es somit, einen topologischen Raum in kanonischer Weise mit der zusätzlichen Struktur eines Messraums auszustatten. Im Hinblick auf diese Struktur heißt der Raum dann auch Borel-Raum.

Beispiele

Die borelsche -Algebra auf den reellen Zahlen

Die Menge der reellen Zahlen wird üblicherweise mit der Topologie ausgestattet, die durch die offenen Intervalle ]a, b[ mit rationalen Endpunkten aufgespannt wird. Obwohl man in Einzelfällen auch andere Topologien auf betrachtet, gilt diese als die kanonische Topologie auf , und die aus ihr abgeleitete borelsche -Algebra wird schlicht als die borelsche -Algebra auf bezeichnet. Sie enthält (aufgrund der Abgeschlossenheit einer -Algebra bezüglich der Komplementbildung) außer den offenen auch die abgeschlossenen Intervalle.

Die borelsche -Algebra auf endlichdimensionalen reellen Vektorräumen

Auf den endlichdimensionalen Vektorräumen wird die kanonische Topologie von den n-dimensionalen Quadern mit rationalen Koordinaten a_i und b_i aufgespannt. Sie ist gleichzeitig die n-fache Produkttopologie der kanonischen Topologie auf . Die von ihr erzeugte borelsche -Algebra heißt analog zum eindimensionalen Fall die borelsche -Algebra auf .

Auf diese Art ist auch elegant die borelsche -Algebra der komplexen Zahlen erklärt: Man nutzt einfach die Vektorraumisomorphie zwischen und .

So kann also die Mathematik definiert werden als diejenige Wissenschaft, in der wir niemals das kennen, worüber wir sprechen, und niemals wissen, ob das, was wir sagen, wahr ist.

Bertrand Russell

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