Bijektion, Bijektivität

Eine Abbildung \(\displaystyle f:A \rightarrow B\) heißt Bijektion oder bijektive Abbildung genau dann, wenn \(\displaystyle f\) injektiv und surjektiv ist. Damit ist \(\displaystyle f\) eine eineindeutige Auf-Abbildung. Jedem Element aus \(\displaystyle A\) wird genau ein Element aus \(\displaystyle B\) zugeordnet und alle Elemente aus \(\displaystyle B\) kommen als Bilder vor.

Grafische Veranschaulichung einer Bijektion

Grafische Veranschaulichung einer Bijektion

Betrachten wir jetzt die bijektiven Abbildungen einer Menge \(\displaystyle M\) auf sich. Dann gibt es eine ausgezeichnete Bijektion \(\displaystyle \id\), die identische Abbildung oder identische Funktion: \(\displaystyle \id(a):=a\).

Weiterhin halten wir fest, dass die Hintereinanderausführung zweier Bijektionen wieder eine Bijektion ist sowie dass die Umkehrung einer Bijektion eine Bijektion ist. Es gilt:

 
 

Satz 15XJ (Eigenschaften bijektiver Abbildungen)

Seien \(\displaystyle f:A\rightarrow B\) und \(\displaystyle g:B\rightarrow C\) bijektive Abbildungen. Dann gilt:

  1. Die Hintereinanderausführung \(\displaystyle g\circ f\) ist bijektiv.
  2. Die Umkehrabbildung \(\displaystyle f^{\me}\) ist bijektiv

Beweis

Lässt sich durch Anwendung der Definition schnell überprüfen. \(\displaystyle \qed\)

Wir bemerken noch, dass alle Bijektionen einer Menge \(\displaystyle M\) auf sich bezüglich der Hintereinanderausführung \(\displaystyle \circ\) eine Gruppe bilden, die symmetrische Gruppe. Neutrales Element ist die identische Abbildung \(\displaystyle \id\). Ist \(\displaystyle M\) endlich spricht man auch von Permutationen.

Beispiele

Die Funktion \(\displaystyle f_1(x)=x\) ist bijektiv auf \(\displaystyle \domR\). Die Funktion \(\displaystyle f_2(x)=x^2\) ist nicht bijektiv auf \(\displaystyle \R\) jedoch als Abbildung \(\displaystyle f_2:[0,\infty[\to[0,\infty[\) betrachtet bijektiv.

Oft ist folgendes Lemma nützlich

Lemma 5212C

Sei \(\displaystyle f:A \rightarrow B\) eine injektive Abbildung, dann ist die Einschränkung \(\displaystyle f:A \rightarrow f(A)\) eine Bijektion.

Natürlich ist dann auch \(\displaystyle f\, ^{-1}: f(A)\rightarrow A\) eine Bijektion.

Beweis

Sei \(\displaystyle b\in f(A)\) damit gibt es nach Definition von \(\displaystyle f(A)\) ein \(\displaystyle a\in A\) mit \(\displaystyle f(a)=b\) und damit ist \(\displaystyle f\) surjektiv. \(\displaystyle \qed\)

Satz B6HE

Seien \(\displaystyle f:A\to B\) und \(\displaystyle g:B\to A\) zwei Abbildungen, deren Komposition die identische Abbildung ergibt (\(\displaystyle g\circ f=\id_A\)). Dann ist \(\displaystyle f\) injektiv und \(\displaystyle g\) surjektiv.

Beweis

Für \(\displaystyle a_1,a_2\in A\) sei \(\displaystyle f(a_1)=f(a_2)\) \(\displaystyle \implies g(f(a_1))=g(f(a_2))\) \(\displaystyle \implies a_1=a_2\).

Für die Surjektivität von \(\displaystyle g\) müssen wir zeigen, dass es für alle \(\displaystyle a\in A\) ein \(\displaystyle b\in B\) gibt mit \(\displaystyle g(b)=a\). Nun leistet \(\displaystyle b=f(a)\) aber gerade das Geforderte. \(\displaystyle \qed\)

Folgerung JJ25

Seien \(\displaystyle f:A\to B\) und \(\displaystyle g:B\to A\) zwei Abbildungen, deren wechselseitige Komposition die identische Abbildung ergibt (\(\displaystyle g\circ f=\id_A\) und \(\displaystyle f\circ g=\id_B\)). Dann sind sowohl \(\displaystyle f\) als auch \(\displaystyle g\) bijektiv.

Beweis

Man wende Satz B6HE zweifach an, dann sind \(\displaystyle f\) und \(\displaystyle g\) injektiv und surjektiv, also bijektiv. \(\displaystyle \qed\)

In der Mathematik gibt es keine Autoritäten. Das einzige Argument für die Wahrheit ist der Beweis.

K. Urbanik

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