Inhalt

- Grundlagen der Mathematik

- Diskrete Mathematik

- Algebra

- Lineare Algebra

   - Vektorräume

       Beispiele

       Lineare Abhängigkeit

      - Unterräume

      - Erzeugendensysteme und

       Basis

         - Basen

             Eindeutigkeit der

             Basisdarstellung

             Existenz

             Basisergänzung

             Austauschsatz

             Basissatz

          Dimension

      - Lineare Abbildungen

       Klassifikationssatz

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- Analysis

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- Funktionalanalysis

- Differentialgeometrie

- Topologie

- Numerik

- Stochastik

- Unsortiertes

- Anbieterkennzeichnung

Basis eines Vektorraums

Eine Teilmenge B eines Vektorraums V heißt Basis, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. B ist Erzeugendensystem von V, also L(B) = V
2. B ist linear unabhängig.

Beispiele

Die leere Menge ist Basis des Nullvektorraums {0}.

Im Vektorraum Kⁿ über K bilden die Vektoren: e₁ := (1, 0, 0, ..., 0), e₂ := (0, 1, 0, ..., 0) bis e_n := (0, 0, 0, ..., 1) eine Basis. Diese Vektoren heißen Einheitsvektoren.

Die Vektoren b₁ = (1, 0, 1), b₂ = (0, 1, - 2) und b₃ = (1, 0, 0) bilden eine Basis des . Die lineare Unabhängigkeit ist leicht nachzurechnen.

Die Vektoren erzeugen , denn für folgt aus

         .

Bemerkung (angeordnete Basen)

Die Basis wurde als Menge von Vektoren definiert. Oft ist es sinnvoll die Reihenfolge der Basisvektoren zur berücksichtigen, die Vektoren also anzuordnen.

Dann spricht man von einer angeordneten Basis und schreibt die Basisvektoren als Tupel.

Oft wird der Begriff Basis benutzt, obwohl eine angeordnete Basis gemeint ist, aus dem Zusammenhang erschließt sich meistens schnell die Art der benutzen Basis, sodass diese Art der Begriffsvermischung nicht problematisch ist.

Satz 15X5 (Charakterisierung der Basen)

Sei B eine Teilmenge des Vektorraums V. Dann sind die folgenden Aussagen paarweise äquivalent:

1. B ist Basis von V
2. B ist eine minimales Erzeugendensystem
3. B ist eine maximale Teilmenge linear unabhängiger Vektoren

Beweis

(i) (ii): Beide Aussagen sind nach Satz 5329B sogar äquivalent.

(ii) (iii) indirekt: Angenommen B ist nicht linear unabhängig, dann gibt es ein das sich als Linearkombination von Vektoren aus darstellen lässt. Damit wäre dann aber ein Erzeugendensystem von V im Widerspruch dazu, dass B ein minimales Erzeugendensystem ist. Also ist B linear unabhängig.

B ist als Erzeugendensystem auch maximal, denn jeder Vektor lässt sich als Linearkombination von Elementen aus B darstellen, kommt also nicht als potentieller Kandidat für die Vergrößerung von B in Frage.

(iii) (i): Sei B eine maximale Teilmenge linear unabhängiger Vektoren. Wir brauchen nur zu zeigen, dass B ein Erzeugendensystem ist. Dazu zeigen wir, dass sich ein beliebiger Vektor als Linearkombination von Vektoren aus B darstellen lässt.

ObdA können wir annehmen, denn andernfalls lässt sich mit trivialerweise eine Linearkombination finden. Nach Voraussetzung kann dann nicht linear unabhängig sein. Damit gibt es und , die nicht alle gleich 0 sind, so dass

(1)

.

Es muss außerdem gelten, denn andernfalls wären die v₁ , ..., v_n und damit auch B linear abhängig. Dann können wir aber (1) umstellen zu:

,

womit gezeigt ist, dass v eine Linearkombination von Elementen aus B ist.

Wir Mathematiker sind die wahren Dichter, nur müssen wir das, was unsere Phantasie schafft, noch beweisen.

Leopold Kronecker

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