Banachscher Fixpunktsatz

Kontraktionen

Sei (\(\displaystyle M\),\(\displaystyle d\)) ein metrischer Raum und \(\displaystyle f:M\rightarrow M\) eine Abbildung. Dann heißt \(\displaystyle f\) Kontraktion oder kontrahierende Abbildung, wenn es ein \(\displaystyle C\in\dom R\) mit \(\displaystyle 0\le C<1\) gibt, so dass für alle \(\displaystyle x,y\in M\) gilt:

\(\displaystyle d(f(x),f(y))\leq C\cdot d(x,y)\).

Eine Kontraktion verringert also den Abstand zweier Punkte zueinander.

 
 

Fixpunkte

Sei \(\displaystyle f:M\to M\) eine Abbildung eines metrischen Raums in sich. Ein Punkt \(\displaystyle x\in M\) heißt Fixpunkt von \(\displaystyle f\), falls \(\displaystyle f(x)=x\) gilt.

Eine Kontraktion verringert den Abstand zwischen Punkten. Der Gedanke, dass kontrahierende Abbildungen Fixpunkte besitzen, liegt daher nahe. Dazu muss der metrische Raum allerdings vollständig sein.

Satz 1667 (Banachscher Fixpunktsatz)

Sei \(\displaystyle f:M\to M\) eine kontrahierende Abbildung eines vollständigen metrischen Raums in sich. Dann besitzt \(\displaystyle f\) genau einen Fixpunkt.

Beweis

Existenz

Wir wählen \(\displaystyle x_0\in M\) beliebig und definieren durch \(\displaystyle x_{n+1}=f(x_n)\), (\(\displaystyle n\in\N\)) rekursiv eine Folge. Wir zeigen, dass \(\displaystyle (x_n)\) eine Cauchy-Folge ist.

Wir schätzen ab: \(\displaystyle d(x_i,x_{i-1})=d(f(x_{i-1}),f(x_{i-2})\) \(\displaystyle \le C d(x_{i-1},x_{i-2})\) und nach nochmaliger Anwendung: \(\displaystyle d(x_i,x_{i-1})\le C^2 d(x_{i-2},x_{i-3})\). Mittels vollständiger Induktion zeigen wir dann

(1)
\(\displaystyle d(x_i,x_{i-1})\le C^{i-1}d(x_1,x_0)=C^{i-1}d(f(x_0),x_0)\).

Nach mehrmaliger Anwendung der Dreiecksungleichung ergibt sich: \(\displaystyle d(x_{n+k},x_n)\le \sum\limits_{i=n+1}^{n+k} d(x_i,x_{i-1})\)

\(\displaystyle \le \sum\limits_{i=n+1}^{n+k} C^{i-1}d(f(x_0),x_0)\) (mit (1))

\(\displaystyle =d(f(x_0),x_0)\sum\limits_{i=n}^{n+k-1} C^{i}\) \(\displaystyle \le d(f(x_0),x_0)\sum\limits_{i=n}^\infty C^{i}\)

\(\displaystyle =d(f(x_0),x_0)\, \dfrac {C^n} {1-C}\) (wegen geometrischer Reihe; siehe Beispiel 5409C)

Dieser Ausdruck wird in Abhängigkeit von \(\displaystyle n\) beliebig klein, damit handelt es sich bei \(\displaystyle (x_n)\) um eine Cauchy-Folge, die konvergiert, da \(\displaystyle M\) vollständig ist.

Sei nun \(\displaystyle x=\lim_{n\to\infty} x_n\) der Grenzwert der Folge. Wegen der Definition der Folge (\(\displaystyle x_n\)) gilt sicher \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} x_n=\lim_{n\to\infty} x_{n+1}\) \(\displaystyle =\lim_{n\to\infty} f(x_n)\). Da \(\displaystyle f\) eine Kontraktion ist, gilt auch \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} f(x_n)=f(x)\), womit also \(\displaystyle x=f(x)\) und \(\displaystyle x\) ist der gesuchte Fixpunkt.

Eindeutigkeit

Seien \(\displaystyle x\) und \(\displaystyle y\) Fixpunkte von \(\displaystyle f\). Dann gilt: \(\displaystyle d(x,y)=d(f(x),f(y))\) \(\displaystyle \le C d(x,y)\). Also: \(\displaystyle (1-C) d(x,y)\leq 0\) und wegen \(\displaystyle 1-C>0\) ist \(\displaystyle d(x,y)=0\) und daher \(\displaystyle x=y\). \(\displaystyle \qed\)

Anwendungen

Der Banachsche Fixpunktsatz wird unter anderem bei den gewöhnlichen Differentialgleichungen beim Beweis des Satzes von Picard-Lindelöf benutzt.

So kann also die Mathematik definiert werden als diejenige Wissenschaft, in der wir niemals das kennen, worüber wir sprechen, und niemals wissen, ob das, was wir sagen, wahr ist.

Bertrand Russell

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