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Der Bairesche Kategoriensatz

Bevor wir den Satz in seiner griffigen Form: "Jeder vollständige metrische Raum ist von zweiter Kategorie" formulieren beweisen wir folgenden Hilfssatz.

Satz 166J (Baire-Hausdorff)

Es seien M ein vollständiger metrischer Raum und eine Familie abgeschlossener Teilmengen von M mit

.

Dann gibt es ein , so dass . Mit anderen Worten: M ist keine Vereinigung abzählbar vieler nirgends dichter Mengen.

Beweis

Wir nehmen an, dass für alle ist, damit gilt wegen der Abgeschlossenheit von A_k auch . Wenn wir nun eine offene, nichtleere Teilmenge betrachten, gilt ist offen (weil A_k abgeschlossen) und nichtleer (weil A_k nur aus Randpunkten besteht).

Es existiert nun nichtleere Umgebungen U_n wie folgt: mit diam U₁ < 1 und mit diam U_n < 1/n.

Nach dem Durchschnittssatz (Satz 5608J) gibt es wegen der Vollständigkeit von M nun genau ein

Nach Konstruktion ist aber für alle , damit . Widerspruch.

Eine Teilmenge eines metrischen Raums M ist von erster Kategorie, wenn sie die Vereinigung abzählbar vieler nirgends dichter Mengen ist. Damit ist jede Teilmenge von A von erster Kategorie und die abzählbare Vereinigung von Mengen von erster Kategorie ist ebenfalls von erster Kategorie.

Ist A nicht von erster Kategorie so heißt A von zweiter Kategorie.

Satz 166L (Kategoriensatz von Baire)

Sei (M, d) ein nichttrivialer vollständiger metrischer Raum. Dann enthält keine Teilmenge von erster Kategorie innere Punkte. Damit ist insbesondere jede nichtleere offene Teilmenge von M von zweiter Kategorie; lässt sich also nicht als Vereinigung abzählbar vieler nirgends dichter Mengen darstellen.

Beweis

Folgt direkt aus Satz 166J.

Geschichtliches

Der Satz wurde zuerst von WILLIAM OSGOOD für die reellen Zahlen bewiesen und später von RENÉ LOUIS BAIRE, für den verallgemeinert.

Im großen Garten der Geometrie kann sich jeder nach seinem Geschmack einen Strauß pflücken.

David Hilbert

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