Inhalt

- Grundlagen der Mathematik

- Diskrete Mathematik

   - Kombinatorik

   - Graphentheorie

   - Zahlentheorie

       Geschichtliches

      - Natürliche Zahlen

          Axiomensystem nach Peano

         - Vollständige Induktion

         - Teilbarkeit

         - Induktive Definitionen

      - Ganze Zahlen

      - Elementare Zahlentheorie

       Analytische Zahlentheorie

- Algebra

- Lineare Algebra

- Geometrie

- Analysis

- Differentialgleichungen

- Funktionalanalysis

- Differentialgeometrie

- Topologie

- Numerik

- Stochastik

- Unsortiertes

- Anbieterkennzeichnung

Axiomensystem nach Peano

Für eine formale Definition der Menge der natürlichen Zahlen und der zugehörigen Rechenregeln ist es letztlich egal, ob man auch die Null als natürliche Zahl bezeichnet oder nicht. Im folgenden wird jedoch zugunsten der Verständlichkeit nur davon ausgegangen, dass 0 eine natürliche Zahl ist. Die behandelten Axiome und Rechenregeln lassen sich analog aber auch auf 1, 2, 3, ... (ohne 0) anwenden.

Wichtig ist, dass es ein Startelement gibt und zu jedem Element einen Nachfolger, denn die natürlichen Zahlen hängen eng mit dem Prinzip der mathematischen Induktion zusammen.

Es folgt eine Definition der Menge der natürlichen Zahlen durch Axiome, die erstmals 1889 von Giuseppe Peano angegeben wurde. Diese Axiome werden Peano-Axiome genannt, obwohl sie eigentlich genauer "Peano-Dedekindsche Axiome" genannt werden müssten, da Peano lediglich die von Dedekind in dessen Schrift "Was sind und was sollen die Zahlen?" (1888) dargestellten Axiome in eine logische Formelsprache übersetzt hat.

1. 0 ist eine natürliche Zahl.
2. Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es genau einen Nachfolger n', der ebenfalls eine natürliche Zahl ist.
3. Es gibt keine natürliche Zahl, deren Nachfolger 0 ist.
4. Zwei verschiedene natürliche Zahlen n und m besitzen stets verschiedene Nachfolger n' und m'.
5. Enthält eine Menge X die Zahl 0 und mit jeder natürlichen Zahl n auch stets deren Nachfolger n', so enthält X bereits alle natürlichen Zahlen. (Ist X dabei selbst eine Teilmenge der natürlichen Zahlen, dann ist X gleich der Menge der natürlichen Zahlen.)

Peano verwendet dabei die Begriffe 0, Zahl und Nachfolger. Bertrand Russell wies darauf hin, dass man damit nicht nur die natürlichen Zahlen, sondern jedes beliebige (abzählbare) Zahlensystem definieren kann. Man definiere z.B. 7/16 als 0 und erzeuge einen Nachfolger durch Addition von 1/16.

Das letzte Axiom nennt man auch das Induktionsaxiom, es bildet die Grundlage für die Beweismethode der vollständigen Induktion.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Peano-Axiome zu formalisieren. Eine (wenn auch nicht die Beste, da hier der Mengenbegriff vorausgesetzt wird) ist die folgende:

Hiervon ausgehend werden auf die Addition und Multiplikation definiert. Man setzt

1. n + 0 = n
2. n + m' = (n + m)'

und dann

Das Induktionsaxiom garantiert jeweils, dass Addition und Multiplikation wohldefiniert sind.

Setzt man nun noch 1 = 0', ergibt sich n' = n + 1. Peano selbst begann die natürlichen Zahlen in seinen Axiomen mit der 1 statt mit der 0.

Die Peano-Axiome bilden ein Axiomensystem der Prädikatenlogik zweiter Stufe, da neben Variablen für Zahlen im Induktionsaxiom auch die Variable X vorkommt. Ersetzt man dieses Axiom durch die entsprechenden unendlich vielen Axiome erster Stufe, so gelangt man zur Peano-Arithmetik.

Ein Modell der natürlichen Zahlen

Peano beschrieb mit seinem Axiom-System zwar die Eigenschaften von natürlichen Zahlen, sah aber keine Notwendigkeit, deren Existenz zu beweisen. John von Neumann gab eine Möglichkeit an, die natürlichen Zahlen durch Mengen darzustellen, d.h. er beschrieb ein mengentheoretisches Modell der natürlichen Zahlen.

.

.

.

Zur Erklärung: 1 ist die Menge, die nur die leere Menge (=) als Element enthält; das ist nicht die leere Menge selbst! Die leere Menge (oder 0) enthält kein Element; die Menge 1 hingegen enthält genau ein Element.

Die Existenz jeder einzelnen natürlichen Zahl ist mengentheoretisch schon durch recht schwache Forderungen gesichert. Für die Existenz der Menge aller natürlichen Zahlen benötigt man jedoch in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ein eigenes Axiom, das so genannte Unendlichkeitsaxiom.

Gott existiert, weil die Mathematik widerspruchsfrei ist, und der Teufel existiert, weil wir das nicht beweisen können.

Andre Weil

Druckansicht     

Bücher zum Thema natürliche Zahlen auf
• bol.de
• buch.de
• buecher.de
• libri.de