Inhalt

- Grundlagen der Mathematik

- Diskrete Mathematik

- Algebra

- Lineare Algebra

   - Vektorräume

       Beispiele

       Lineare Abhängigkeit

      - Unterräume

      - Erzeugendensysteme und

       Basis

         - Basen

             Eindeutigkeit der

             Basisdarstellung

             Existenz

             Basisergänzung

             Austauschsatz

             Basissatz

          Dimension

      - Lineare Abbildungen

       Klassifikationssatz

       Dimensionsformel

       Dualräume

       Konvexe Mengen

       Quotientenvektorräume

   - Matrizen

   - Lineare Gleichungssysteme

   - Determinanten

   - Eigenwerte

- Geometrie

- Analysis

- Differentialgleichungen

- Funktionalanalysis

- Differentialgeometrie

- Topologie

- Numerik

- Stochastik

- Unsortiertes

- Anbieterkennzeichnung

Austauschsatz

Bei der Konstruktion von Basen spielten die für die Basis ausgewählten Vektoren keine Rolle. Es liegt die Vermutung nahe, dass man sie zu einem gewissen Grad auch gegen andere Vektoren des Vektorraums austauschen kann. Das "Wie" regelt der

Satz 15X9 (Austauschsatz für Basen)

Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum über dem Körper K mit der Basis {b₁ , ..., b_n }. Für alle vom Nullvektor verschiedenen Vektoren bilden dann auch die Vektoren

eine Basis. Dabei ist k ein beliebiger Index, für den in der Basisdarstellung

(1)

Beweis

Für gibt es wenigstens ein k mit in Darstellung (1). Sei obdA k = 1 (Andernfalls vertauschen wir einfach b₁ und b_k ). Wir müssen nun zeigen, dass die v, b₂ , ..., b_n eine Basis von V bilden. Dazu zeigen wir, dass sie linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem bilden.

Lineare Unabhängigkeit: Sei

(2)

Nun sind aber die b₁ , ..., b_n linear unabhängig. Damit gilt: und für i = 2...n. Nach Voraussetzung ist also gilt: . Dann gilt aber auch für i = 2...n. Damit lässt sich der Nullvektor in (2) nur als triviale Linearkombination darstellen, also sind die Vektoren v, b₂ , ..., b_n linear unabhängig.

Erzeugendensystem: Wegen (1) und gilt:

(3)

.

Sei nun ein beliebiger Vektor, dann gilt wegen der Basiseigenschaft von b₁ , ..., b_n : für gewisse . Setzen wir nun den Ausdruck für b₁ aus (3) ein, erhalten wir:

.

Also ist w als Linearkombination von v, b₂ , ..., b_n darstellbar.

Satz 15XB (Folgerung aus dem Austauschsatz)

Besitzt ein Vektorraum V eine Basis mit n Elementen, so sind alle Mengen mit mehr als n Elementen linear abhängig.

Beweis

Sei B = {b₁ , ..., b_n } eine Basis von V und seien Vektoren, wobei m > n gelten soll. Wir führen den Beweis indirekt und nehmen an, dass die v₁ , ..., v_m linear unabhängig sind. Nach dem Austauschsatz können wir nun eine Basis der Form

Dann können wir v₂ als folgende Linearkombination schreiben:

.

Nun können wir den Austauschsatz für v₂ und den Index j anwenden. Wir erhalten dann eine Basis mit v₁ und v₂ und weiteren n - 2 Vektoren aus B. Fahren wir nun in gleicher Weise fort, erhalten wir dann einen Basis, die nur noch aus v-Vektoren besteht. Nun bleibt aber wenigstens ein v-Vektor übrig, der nicht zur neuen Basis gehört. Wegen der Basiseigenschaft können wir diesen jedoch als Linearkombination der v-Vektoren aus der Basis schreiben im Widerspruch zur Annahme, dass diese linear unabhängig sind.

Die Mathematik als Fachgebiet ist so ernst, daß man keine Gelegenheit versäumen sollte, dieses Fachgebiet unterhaltsamer zu gestalten.

Blaise Pascal

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