Algebraische Gleichungen

Die allgemeine algebraische Gleichung hat die Form

a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + ... + a₁ x + a₀ = 0.

Wir wollen annehmen, dass

und

gilt; n heißt dann der Grad der Gleichung.

Die Lösungen der algebraischen Gleichung sind die Nullstellen des zugehörigen Polynoms.

Dividieren wir die Gleichung duch a_n und setzen , ergibt sich die Normalform der algebraischen Gleichung: xⁿ + b_n-1 x^n-1 + ... + b₁ x + b₀ = 0.

Satz 5219A (Fundamentalsatz der Algebra)

Jede algebraische Gleichung p_n := xⁿ + a_n-1 x^n-1 + ... + a₁ x + a₀ = 0 mit reellen oder komplexen Koeffizienten a_i (i = 0, ..., n-1) besitzt im Bereich der komplexen Zahlen genau n (evtl. mehrfache) Lösungen.

Wenn x₁ , x₂ , ..., x_r die Lösungen von p_n mit den Vielfachheiten k₁ , ..., k_r sind, so ist trivialerweise und p_n besitzt folgende Produktdarstellung:

Sind alle Koeffizienten in p_n reell, so ist mit einer komplexen Lösung x_z auch die konjugiert komplexe Zahl x_z eine Lösung der Gleichung. In der Produktdarstellung tritt daher mit dem Faktor (x - x_z )^k_z auch der Faktor (x - x_z )^k_z auf. Multipliziert man beide Faktoren erhält man einen Faktor der Form (x² + p_z x + q_z )^k_z , wobei der Realteil und q_z = | p_z | die Norm der komplexen Zahl ist. Beide sind reelle Zahlen und wir erhalten eine reelle Produktdarstellung der Gleichung.

Scherzhafte Beispiele haben manchmal größere Bedeutung als ernste.

Michael Stifel

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