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Äquivalente Matrizen

Zwei Matrizen A, heissen äquivalent, in Zeichen , wenn reguläre Matrizen und existieren mit A' = SAT^-1 .

Bemerkung

Dies ist wirklich eine mengentheoretische Äquivalenzrelation:

, denn .

.

, , .

Äquivalente Matrizen können nach Satz 16B1 aufgefasst werden als Darstellungsmatrizen derselben linearen Abbildung f bei nur anders gewählten Basen.

Gesucht sind jetzt möglichst einfache Repräsentanten in den Äquivalenzklassen bezüglich obiger Äquivalenzrelation.

Satz 816F

Für eine Matrix mit rang A = r () gilt

Diese Matrix D_r ist gerade die Normalform der durch A bestimmten Äquivalenzklasse.

Beweis

Folgt direkt aus Satz 16B5.

Bemerkung

Die Transformationsmatrizen S, T sind nicht eindeutig bestimmt. Es kann immer T^-1 = (b₁ , ..., b_n ), S^-1 = (b₁ , ..., b_m ) gewählt werden, denn

und

Satz 816G

Für Matrizen gilt: (je zwei Matrizen mit dem gleichen Rang sind äquivalent)

Die Äquivalenzklasse einer Matrix wird allein durch ihren Rang bestimmt.

Beweis

Mit Satz 816F gilt:

Jede Wissenschaft bedarf der Mathematik, die Mathematik bedarf keiner.

Jakob I. Bernoulli

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