Additionstheoreme für Sinus und Kosinus

Die Additionstheoreme führen die Berechnung der Winkelfunktionen für die Summe bzw. Differenz von Argumenten auf die Berechnung der Winkelfunktionen für die ursprünglichen Werte zurück. Wenn man den Sinus und Kosinus von zwei Winkeln \(\displaystyle x_1\) und \(\displaystyle x_2\) kennt, kann man damit auch die Werte für \(\displaystyle \sin(x_1+x_2)\) und \(\displaystyle \cos(x_1+x_2)\) ermitteln.

Satz 5220A (Additionstheoreme für Sinus und Kosinus)

  1. \(\displaystyle \sin(x_1+x_2) =\sin x_1\, \cos x_2+\sin x_2\, \cos x_1\)
    \(\displaystyle \sin(x_1-x_2) =\sin x_1\, \cos x_2-\sin x_2\, \cos x_1\)
    \(\displaystyle \sin 2x=2\sin x\, \cos x\)
  2. \(\displaystyle \cos(x_1+x_2)=\cos x_1\cos x_2- \sin x_1\sin x_2\)
    \(\displaystyle \cos(x_1-x_2)=\cos x_1\cos x_2+ \sin x_1\sin x_2\)
    \(\displaystyle \cos 2x= \cos^2 x- \sin^2 x\)

Speziell gilt:

  1. \(\displaystyle \sin(\pi+x)=-\sin x\) und \(\displaystyle \sin(\pi-x)=\sin x\)
  2. \(\displaystyle \cos(\pi+x)=-\cos x\) und \(\displaystyle \cos(\pi-x)=-\cos x\)

 
 

Beweis

i. In der nebenstehenden Grafik sind die beiden Winkel \(\displaystyle x_1\) und \(\displaystyle x_2\) übereinander abgetragen. Der Kreis soll den Radius \(\displaystyle 1\) haben (Einheitskreis).

Die gesuchte Größe ist \(\displaystyle \eta=\sin(x_1+x_2)\).

Dann entnimmt man folgende Beziehungen: \(\displaystyle \sin x_1 = \eta_1\), \(\displaystyle \cos x_1 = \xi_1\), \(\displaystyle \sin x_2 = \eta_2\), \(\displaystyle \cos x_2 = \xi_2\).

Aus dem Strahlensatz erhält man \(\displaystyle \dfrac a {\xi_2}=\dfrac {\eta_1} 1\), also \(\displaystyle a=\eta_1\xi_2\) und als weitere Beziehung \(\displaystyle \dfrac p a = \dfrac {\eta_2+p} \eta\), also \(\displaystyle \eta=\dfrac{a(\eta_2+p)} p\).

Um \(\displaystyle p\) zu bestimmen, nutzen wir die Beziehung \(\displaystyle \sin\braceNT{\dfrac \pi 2 - x_1}=\cos x_1\) \(\displaystyle =\xi_1=\dfrac a p\) (Satz 5220B).

Damit ergibt sich \(\displaystyle \eta=\xi_1(\eta_2+p)\) \(\displaystyle =\xi_1\braceNT{\eta_2+\dfrac a {\xi_1}}\) \(\displaystyle =\xi_1\braceNT{\eta_2+\dfrac {\eta_1\xi_2} {\xi_1}}\) \(\displaystyle =\xi_1\eta_2 + \eta_1\xi_2\), und wenn wir die Definitionen für Sinus und Kosinus einsetzen erhalten wir die erste Behauptung.

Die beiden anderen Behauptungen ergeben sich trivial wenn wir \(\displaystyle y=-y\) und \(\displaystyle y=x\) in die erste Gleichung einsetzen.

ii. Mit Satz 5220B und den Ergebnissen von i. ergibt sich: \(\displaystyle \cos(x_1+x_2) = \sin (\dfrac \pi 2 + x_1+x_2)\) \(\displaystyle =\sin(\dfrac \pi 2 + x_1)\cos x_2+\cos(\dfrac \pi 2 + x_1)\sin x_2\) \(\displaystyle =\cos x_1\cos x_2- \sin x_1\sin x_2\). Die anderen beiden Behauptungen ergeben sich analog.

Die speziellen Aussagen beweist man durch Einsetzen und mit den Werten aus Tabelle 7CGF. \(\displaystyle \qed\)

Satz 5316D (Weitere Additionstheoreme für Sinus und Kosinus)

  1. \(\displaystyle \sin^2x =\dfrac 1 2 (1-\cos 2x)\)
    \(\displaystyle \cos^2x =\dfrac 1 2 (1+\cos 2x)\)
  2. \(\displaystyle \sin x_1+\sin x_2=2\cdot \sin\dfrac {x_1+x_2} 2\cdot \cos\dfrac {x_1-x_2} 2\)
    \(\displaystyle \sin x_1-\sin x_2=2\cdot \cos\dfrac {x_1+x_2} 2\cdot \sin\dfrac {x_1-x_2} 2\)
  3. \(\displaystyle \cos x_1+\cos x_2=2\cdot \cos\dfrac {x_1+x_2} 2\cdot \cos\dfrac {x_1-x_2} 2\)
    \(\displaystyle \cos x_1-\cos x_2=-2\cdot \sin\dfrac {x_1+x_2} 2\cdot \sin\dfrac {x_1-x_2} 2\)

Beweis

(Satz 5220B)(i) \(\displaystyle \sin^2 x+\cos^2 x=1\)

\(\displaystyle \implies 2\cos^2 x=1+ \cos^2 x-\sin^2 x\)

(Satz 5220A)\(\displaystyle \implies 2\cos^2 x=1+ \cos 2x\)

\(\displaystyle \implies \dfrac 1 2 (1+\cos 2x)\)

Analog zeigt man die Beziehung für den Sinus.

(ii) und (iii). Unter Benutzung von Satz 5220A und Satz 5220B rechnen wir eine Identität exemplarisch vor.

\(\displaystyle 2\cdot \sin\dfrac {x_1+x_2} 2\cdot \cos\dfrac {x_1-x_2} 2\)

\(\displaystyle =2\braceNT{\sin\dfrac{x_1} 2\cos\dfrac{x_2} 2 + \cos\dfrac{x_1} 2\sin\dfrac{x_2} 2}\braceNT{\cos\dfrac{x_1} 2\cos\dfrac{x_2} 2 + \sin\dfrac{x_1} 2\sin\dfrac{x_2} 2}\)

\(\displaystyle =2\sin\dfrac{x_1} 2\cos\dfrac{x_1} 2\cos^2\dfrac{x_2} 2+2\sin\dfrac{x_2} 2\cos\dfrac{x_2} 2\cos^2\dfrac{x_1} 2\)\(\displaystyle + 2\sin^2\dfrac{x_1} 2\sin\dfrac{x_2} 2\cos\dfrac{x_2} 2+2\sin\dfrac{x_1} 2\sin^2\dfrac{x_2} 2\cos\dfrac{x_1} 2\)

\(\displaystyle =2\sin\dfrac{x_1} 2\cos\dfrac{x_1} 2\braceNT{\sin^2\dfrac{x_2} 2+\cos^2\dfrac{x_2} 2}\)\(\displaystyle +2\sin\dfrac{x_2} 2\cos\dfrac{x_2} 2\braceNT{\sin^2\dfrac{x_1} 2+\cos^2\dfrac{x_1} 2}\)

\(\displaystyle =2\sin\dfrac{x_1} 2\cos\dfrac{x_1} 2+2\sin\dfrac{x_2} 2\cos\dfrac{x_2} 2\) \(\displaystyle =\sin x_1+\sin x_2\) \(\displaystyle \qed\)

Die Logik ist die Hygiene, deren sich der Mathematiker bedient, um seine Gedanken gesund und kräftig zu erhalten.

Hermann Weyl

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