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Abgeschlossene Mengen in metrischen Räumen

Die Definition der abgeschlossenen Mengen wird auf die Definition offener Mengen zurückgeführt.

Eine Teilmenge eines metrischen Raums heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist.

Abgeschlossen und offen sind damit zueinander duale Begriffe. Man kann den einen durch den anderen ersetzen indem man zum Komplement übergeht.

Satz 5910A (Eigenschaften abgeschlossener Mengen)

1. Die leere Menge und M selbst sind abgeschlossen.
2. Wenn I eine beliebige Indexmenge ist und für die alle abgeschlossen sind, dann ist auch der Durchschnitt abgeschlossen.
3. Wenn abgeschlossen sind dann ist auch die Vereinigung abgeschlossen. Also ist auch die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen abgeschlossen.
4. Jede endliche Menge ist abgeschlossen.

Beweis

Den Beweis von (i)-(iii) führt man, indem man zum Komplement übergeht und auf die entsprechenden Aussagen für offene Mengen (Satz 5225J) zurückgreift.

(i) da bzw. offen.

(ii) A_i abgeschlossen offen offen abgeschlossen.

(iii) A, B abgeschlossen offen offen abgeschlossen.

(iv) Wir brauchen hier nur zu zeigen, dass die einpunktigen Mengen abgeschlossen sind, nach (iii) sind dann auch die endlichen Mengen abgeschlossen.

Sei ein beliebiger Punkt des Raums. Wir zeigen, dass offen ist. Wenn , wählen wir z.B. und x liegt nicht in der -Umgebung von y. Es gilt dann . Da y beliebig gewählt war, ergibt sich die Behauptung.

Satz 16PN

In einem metrischen Raum M sei A eine abgeschlossene Menge und O eine offene Menge, dann gilt:

1. ist abgeschlossen
2. ist offen

Beweis

Nach Satz 5910C gilt folgende mengenalgebraische Identität:

. Die rechte Seite ist als Vereinigung offener Mengen offen, also auch die linke Seite. (ii) zeigt man analog.

Seit man begonnen hat, die einfachsten Behauptungen zu beweisen, erwiesen sich viele von ihnen als falsch.

Bertrand Russell

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