Abbildungen und Stetigkeit
Für die Abbildungen von metrischen Räumen ineinander kann man den Begriff der Stetigkeit analog zur Stetigkeit von reellen Funktionen definieren.
Seien also (M1
, d1
) und (M2
, d2
) zwei metrische Räume. Eine Abbildung   heißt stetig in x0
, wenn es für jedes  ein  gibt, so dass für alle  aus  folgt, dass  ; also  .
f ist auf ganz M1
stetig, wenn f für alle Punkte stetig ist.
Satz 16CF (Charakterisierung lokaler Stetigkeit)
Seien also (M1
, d1
) und (M2
, d2
) zwei metrische Räume; und . Dann sind folgende Aussagen äquivalent
- f ist stetig in x
- Für jede Umgebung
 gibt eine Umgebung  , so dass 
- Das Urbild jeder Umgebung ist eine Umgebung U(x)
Beweis
(i)  (ii): Gilt da jede  -Umgebung eine Umgebung ist und jede Umgebung nach Definition eine -Umgebung enthält.
(ii)  (iii): Sei y = f(x), V(y) eine Umgebung, dann gibt es eine Umgebung U(x) mit  und nach Satz 5212B ergibt sich  . Damit ist das Urbild von V(y) Obermenge einer Umgebung und damit selbst Umgebung.
(iii) (ii): Habe nun V(y) als Urbild eine Umgebung U(x), also U(x) = f -1
(V(y)), dann gilt nach Satz 5212B  . 
Satz 16CG (Charakterisierung globaler Stetigkeit)
Seien also (M1
, d1
) und (M2
, d2
) zwei metrische Räume. Dann sind folgende Aussagen äquivalent
- ist stetig
- Das Urbild jeder offenen Menge ist offen
- Das Urbild jeder abgeschlossenen Menge ist abgeschlossenen
- Für alle
 gilt f(A) = f(A)
Beweis
Bei Beweis wird nicht auf die Metrik zurückgegriffen. Daher gilt der Satz auch in allgemeinen topologischen Räumen.
Satz 5212B
(i) (iv): sei stetig und . Sei nun  beliebig gewählt und y = f(x). Ist V(y) eine beliebige Umgebung um y, so ist wegen der Stetigkeit von f nach Satz 16CF U(x) = f -1
(V(y)) eine Umgebung von x. Da gibt es ein  . Für dieses u gilt nun einerseits  und andererseits  = f(f -1
(V(y)))  (siehe Satz 5212B). Damit ist  , also enthält V(y) eine Punkt aus f(A) und es gilt 
(iv) (iii): Sei  abgeschlossen und A = f -1
(B). Dann ist  (Satz 5212B).
Nach Satz 5226C:  . Nach Voraussetzung gilt  . Mit Satz 5212B erhält man dann   und nach Satz 5226C ist A abgeschlossen.
(iii) (ii): Sei  offen. Dann ist  abgeschlossen und nach Voraussetzung ist  abgeschlossen. Nach Satz 5212B ist  , also ist f -1
(A) offen.
(ii) (i): Sei und y = f(x) sowie V(y) eine Umgebung von y. Diese enthält eine offene Menge  mit  . Nach Voraussetzung ist deren Urbild f -1
(B) offen und da
 ist f -1
(V(y)) eine Umgebung von x. Damit ist f in x stetig und da x beliebig gewählt war, ist f überall stetig.
Satz 16K1
Sei X ein kompakter metrischer Raum, die Abbildung  stetig und injektiv. Dann gilt:
 ist stetig
Beweis
Y0
:= f(X) ist nach Satz 16JZ kompakt. Nach Satz 16CG genügt es zu zeigen, dass die Urbilder von abgeschlossenen Mengen wieder abgeschlossen sind; also für  abgeschlossen muss(f-1
)-1
(A) = f(A) auch abgeschlossen sein.
Sei  ,  . Es ist zu zeigen, dass  .
 . Da X kompakt ist, existiert eine Teilfolge  . Da A abgeschlossen ist gilt  .
Da f stetig gilt   
Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.
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