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Grundlagen der Mathematik


Abbildungen und Funktionen

Eine beliebige Teilmenge wFormel des kartesischen Produkts zweier Mengen X und Y heißt Abbildung oder Funktion, falls f eindeutig ist, also einem Element wFormel durch f höchstens ein Element wFormel zugeordnet wird. Formal:
wFormel ist Abbildung wFormel
Damit sind Funktionen nichts anderes als eindeutige 2-stellige Relationen.
Man schreibt dann
wFormel,
und mit wFormel und wFormel symbolisiert man die Zuordnung durch
wFormel     bzw.     y = f(x).
Man nennt x die unabhängige Variable und y die abhängige Variable.
Die Grafik rechts verdeutlicht das Wesen der Abbildung. Die Zuordnungen sind durch Pfeile symbolisiert. Von jedem Element der linken Menge geht höchstens ein Pfeil aus.

Definitionen

Sei nun wFormel eine Abbildung und wFormel, wFormel mit y = f(x). y heißt das Bild oder der Funktionswert von x. Andererseits wird x das Urbild von y genannt.
Da f eine Abbildung ist, ist das Bild immer eindeutig bestimmt, falls es definiert ist.
Das Urbild hingegen muss - falls definiert - nicht eindeutig sein.
Wir bezeichnen die Menge aller Urbilder eines Funktionswertes mit wFormel und für wFormel analog wFormel wFormel.
Der Definitionsbereich (Argumentbereich/ Urbildbereich) wFormel von f ist die Menge aller Urbilder. Klar ist, dass wFormel gilt. (Teilweise sieht man auch die Bezeichnung wFormel für Df .)
Für einer Teilmenge wFormel heißt wFormel analog das Bild von A.
Der Bildbereich oder Wertebereich wFormel von f ist die Menge aller Bilder:
wFormel.
An Stelle von Wf sieht man auch die Bezeichnung wFormel.

Beispiele

Die lineare Funktion y = x besitzt als Definitionsbereich und Wertebereich die reellen Zahlen.
Die quadratische Funktion y = x2 besitzt als Definitionsbereich auch alle reellen Zahlen aber als Wertebereich die nichtnegativen reellen Zahlen. Es gilt f(2) = 4, also ist 4 Bild von 2. Das Urbild von 4 ist jedoch die zweielementige Menge {2, - 2}.
Bei der Wurzelfunktion wFormel umfasst sowohl der Definitionsbereich als auch der Wertebereich nur die nichtnegativen Zahlen.

Gleichheit von Abbildungen

Für die Gleichheit zweier Funktionen f und g können wir festhalten:
wFormel wFormel
Die Forderung, dass auch die Definitionsbereiche übereinstimmen müssen, wird schnell übersehen und meist durch die Forderung des Übereinstimmens der Funktionswerte impliziert. Da aber im Allgemeinen Df eine echte Teilmenge von X ist, muss man sehr wohl überprüfen, ob die Funktionswerte beider Funktionen jeweils existieren. Ist dies gesichert folgt daraus wiederum, dass ihre Definitionsbereiche übereinstimmen müssen.

Wie ist es möglich, daß die Mathematik, letztlich doch ein Produkt menschlichen Denkens unabhängig von der Erfahrung, den wirklichen Gegebenheiten so wunderbar entspricht?

Albert Einstein

 

 

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