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Grundlagen der Mathematik


Abbildungen und Funktionen

Eine beliebige Teilmenge \(\displaystyle f\subseteq X\cross Y\) des kartesischen Produkts zweier Mengen \(\displaystyle X\) und \(\displaystyle Y\) heißt Abbildung oder Funktion, falls \(\displaystyle f\) eindeutig ist, also einem Element \(\displaystyle x\in X\) durch \(\displaystyle f\) höchstens ein Element \(\displaystyle y\in Y\) zugeordnet wird. Formal:

\(\displaystyle f \subseteq X\cross Y\) ist Abbildung \(\displaystyle \iff \forall x,y_1,y_2: (x,y_1)\in F \and (x,y_2) \in F \implies y_1=y_2\)

Damit sind Funktionen nichts anderes als eindeutige 2-stellige Relationen.

Man schreibt dann

\(\displaystyle f: X\to Y\),

und mit \(\displaystyle x\in X\) und \(\displaystyle y\in Y\) symbolisiert man die Zuordnung durch

\(\displaystyle x\mapto y\)     bzw.     \(\displaystyle y=f(x)\).

Man nennt \(\displaystyle x\) die unabhängige Variable und \(\displaystyle y\) die abhängige Variable.

Die Grafik rechts verdeutlicht das Wesen der Abbildung. Die Zuordnungen sind durch Pfeile symbolisiert. Von jedem Element der linken Menge geht höchstens ein Pfeil aus.

 
 

Definitionen

Sei nun \(\displaystyle f:X\to Y\) eine Abbildung und \(\displaystyle x\in X\), \(\displaystyle y\in Y\) mit \(\displaystyle y=f(x)\). \(\displaystyle y\) heißt das Bild oder der Funktionswert von \(\displaystyle x\). Andererseits wird \(\displaystyle x\) das Urbild von \(\displaystyle y\) genannt.

Da \(\displaystyle f\) eine Abbildung ist, ist das Bild immer eindeutig bestimmt, falls es definiert ist.

Das Urbild hingegen muss - falls definiert - nicht eindeutig sein.

Wir bezeichnen die Menge aller Urbilder eines Funktionswertes mit \(\displaystyle D_f(y)=\{x\in X| y=f(x)\}\) und für \(\displaystyle B\subset Y\) analog \(\displaystyle D_f(B)=\{x\in X| \exists y\in Y : y=f(x)\}\) \(\displaystyle =\bigcup\limits_{y\in B}D_f(y)\).

Der Definitionsbereich (Argumentbereich/ Urbildbereich) \(\displaystyle D(f)=D_f\eqdef D_f(Y)\) von \(\displaystyle f\) ist die Menge aller Urbilder. Klar ist, dass \(\displaystyle D_f\subseteq X\) gilt. (Teilweise sieht man auch die Bezeichnung \(\displaystyle \Domain(f)\) für \(\displaystyle D_f\).)

Für einer Teilmenge \(\displaystyle A\subseteq X\) heißt \(\displaystyle f(A)\subseteq Y\) analog das Bild von \(\displaystyle A\).

Der Bildbereich oder Wertebereich \(\displaystyle W_f=W(f)\eqdef f(X)\) von \(\displaystyle f\) ist die Menge aller Bilder:

\(\displaystyle W_f:=\{y\in Y| \space \exists x\in X: y=f(x)\}\).

An Stelle von \(\displaystyle W_f\) sieht man auch die Bezeichnung \(\displaystyle \Image(f)\).

Beispiele

Die lineare Funktion \(\displaystyle y=x\) besitzt als Definitionsbereich und Wertebereich die reellen Zahlen.

Die quadratische Funktion \(\displaystyle y=x^2\) besitzt als Definitionsbereich auch alle reellen Zahlen aber als Wertebereich die nichtnegativen reellen Zahlen. Es gilt \(\displaystyle f(2)=4\), also ist \(\displaystyle 4\) Bild von \(\displaystyle 2\). Das Urbild von \(\displaystyle 4\) ist jedoch die zweielementige Menge \(\displaystyle \{2,-2\}\).

Bei der Wurzelfunktion \(\displaystyle y=\sqrt x\) umfasst sowohl der Definitionsbereich als auch der Wertebereich nur die nichtnegativen Zahlen.

Gleichheit von Abbildungen

Für die Gleichheit zweier Funktionen \(\displaystyle f\) und \(\displaystyle g\) können wir festhalten:

\(\displaystyle f=g \iff D_f=D_g\) \(\displaystyle \and \forall x: x\in D_f \implies f(x)=g(x)\)

Die Forderung, dass auch die Definitionsbereiche übereinstimmen müssen, wird schnell übersehen und meist durch die Forderung des Übereinstimmens der Funktionswerte impliziert. Da aber im Allgemeinen \(\displaystyle D_f\) eine echte Teilmenge von \(\displaystyle X\) ist, muss man sehr wohl überprüfen, ob die Funktionswerte beider Funktionen jeweils existieren. Ist dies gesichert folgt daraus wiederum, dass ihre Definitionsbereiche übereinstimmen müssen.

Die Mathematik muß man schon deswegen studieren, weil sie die Gedanken ordnet.

M. W. Lomonossow

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