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Abbildungen

Eine beliebige Teilmenge des kartesischen Produkts zweier Mengen X und Y heißt Korrespondenz.

Wenn einem Element durch eine Korrespondenz F höchstens ein Element zugeordnet wird, spricht man von einer eindeutigen Korrespondenz.

F eindeutig

Diese Korrespondenzen werden als Abbildungen oder Funktionen bezeichnet.

Wesen einer Abbildung

Die Grafik rechts verdeutlicht das Wesen der Abbildung. Die Zuordnungen sind durch Pfeile symbolisiert. Von jedem Element der linken Menge geht höchstens ein Pfeil aus.

Für Abbildungen verwendet man in der Regel kleine Buchstaben (z.B. f, g) und benutzt die Schreibweisen und y = f(x) für , bzw. um den Zuordnungsaspekt zu verdeutlichen. Man nennt x die unabhängige Variable und y die abhängige Variable.

Definitionen

Für ein heißt ein für das y = f(x) gilt Urbild von y. Ein y kann durchaus mehrere Urbilder haben. Das Urbild ist also nicht eindeutig bestimmt.

Der Definitionsbereich (Argumentbereich/ Urbildbereich) von F ist die Menge aller Urbilder:

Ist y = f(x) so heißt y das Bild von x. Dieses ist immer eindeutig. Bei einer Teilmenge heißt analog das Bild von A.

Der Bildbereich (Wertebereich) von f ist die Menge aller Bilder, also oder

Die Bezeichnungen und kommen aus dem Englischen für domain und image. Im deutschen Sprachraum sind auch die Bezeichnungen D(f) für den Definitionsbereich bzw. W(f) für den Wertebereich üblich.

Beispiele

Die lineare Funktion y = x besitzt als Definitionsbereich und Wertebereich die reellen Zahlen.

Die quadratische Funktion y = x² besitzt als Definitionsbereich auch alle reellen Zahlen aber als Wertebereich die nichtnegativen reellen Zahlen. Es gilt f(2) = 4, also ist 4 Bild von 2. Das Urbild von 4 ist jedoch die zweielementige Menge {2, - 2}.

Bei der Wurzelfunktion umfasst sowohl der Definitionsbereich als auch der Wertebereich nur die nichtnegativen Zahlen.

Gleichheit von Abbildungen

Für die Gleichheit zweier Funktionen f und g können wir festhalten:

Die Forderung, dass auch die Definitionsbereiche übereinstimmen müssen, wird schnell übersehen.

Bei und definiert durch handelt es sich um zwei verschiedene Funktionen, obwohl sie auf ihrem Definitionsbereich übereinstimmen.

Umkehrung von Abbildungen

Während man zu jeder Korrespondenz F unmittelbar die Umkehrung F^-1 bilden kann, muss die Umkehrung einer Abbildung f nicht unbedingt eindeutig sein und damit wieder eine Abbildung. Die Quadratfunktion aus dem obigen Beispiel ist z.B. auf ihrem Definitionsbereich nicht eindeutig umkehrbar.

Nach unserer bisherigen Erfahrung sind wir zum Vertrauen berechtigt, dass die Natur die Realisierung des mathematisch denkbar Einfachsten ist.

Albert Einstein

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